X คืออะไรถ้า log_8 (1-x) + (10log_32 (x)) / 3-log_2 (e ^ ln (1 / x) / 3) = 4/3?

ตอบ:

ไม่มีวิธีแก้ไขใน # RR #.

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นขอลดความซับซ้อนหน่อย:

เช่น # อี ^ x # และ #ln (x) # เป็นฟังก์ชันผกผัน # e ^ ln (x) = x # ถือรวมทั้ง #ln (e ^ x) = x #. ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถทำให้คำลอการิทึมที่สามของคุณง่ายขึ้น:

# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #

# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

เป้าหมายต่อไปของคุณคือนำทุกสิ่ง # บันทึก # ฟังก์ชั่นในฐานเดียวกันเพื่อให้คุณมีโอกาสใช้กฎลอการิทึมกับพวกมันและทำให้ง่ายขึ้น

คุณสามารถเปลี่ยนฐานลอการิทึมดังต่อไปนี้:

#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #

ลองใช้กฎนี้เพื่อเปลี่ยนฐาน #8# ของ # log_8 # และฐาน #32# ของ # log_32 # ไปยังฐาน #2#:

# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

ตอนนี้เราสามารถคำนวณ # log_2 (8) = 3 # และ # log_2 (32) = 5 #

(ในกรณีที่มันไม่ชัดเจนให้ฉันทำลายมันลงเพื่อให้แน่ใจว่า: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)

สิ่งนี้นำเราไปสู่สมการลอการิทึมต่อไปนี้ที่ง่ายขึ้น:

# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

… ทวีคูณทั้งสองด้านด้วย #3#…

# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #

ตอนนี้เราพร้อมที่จะใช้กฎลอการิทึม:

#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # และ #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #

เป้าหมายคือมีเพียงหนึ่ง # บันทึก # เทอมที่ด้านซ้าย มาทำกันเถอะ:)

# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #

# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #

# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #

# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #

# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #

ณ จุดนี้เราสามารถกำจัด # log_2 (ก) # โดยใช้ฟังก์ชันอินเวอร์ส # 2 อรรถเป็น # ทั้งสองข้างของสมการ

# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #

# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #

# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #

# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #

# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #

# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #

น่าเสียดายที่ฉันต้องยอมรับว่าฉันติดอยู่ในขณะนี้เนื่องจากฉันไม่รู้วิธีแก้สมการนี้

อย่างไรก็ตามการวางแผน #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # บอกฉันว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ # RR #.

กราฟ {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}

ฉันหวังว่านี่จะช่วยได้เล็กน้อย!