ความน่าจะเป็นที่จะชนะในเกมซ้ำแล้วซ้ำอีกอย่างไม่สิ้นสุดมีอะไรบ้าง?

ตอบ:

# "ตอบ D)" #

คำอธิบาย:

# "มันเป็นเพียงคำตอบเชิงตรรกะเท่านั้นเป็นไปไม่ได้" #

# "นี่คือปัญหาการล่มสลายของนักพนัน" #

# "นักพนันเริ่มต้นด้วย k ดอลล่าร์" #

# "เขาเล่นจนกว่าเขาจะถึง G Dollar หรือถอยกลับไปที่ 0" #

#p = "โอกาสที่เขาจะได้รับ 1 ดอลลาร์ในหนึ่งเกม" #

#q = 1 - p = "โอกาสที่เขาจะเสีย 1 ดอลลาร์ในหนึ่งเกม" #

# "โทร" r_k "ความน่าจะเป็น (โอกาส) ที่เขาถูกทำลาย" #

# "จากนั้นเรามี" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "ด้วย" 1 <= k <= G-1 #

# "เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่ได้เนื่องจาก p + q = 1 ดังนี้:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "ตอนนี้เรามีกรณี" p = q = 1/2 #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "สำหรับ" r_k "เรามี" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "ดังนั้นผู้เล่น A เริ่มต้นที่นี่ด้วย k = ดอลลาร์และเล่นจนกว่า" #

# "เขาถูกทำลายหรือมี + b ดอลล่าร์" #

# => k = a, "และ" G = a + b #

# "ดังนั้นโอกาสที่เขาจะถูกทำลาย" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "โอกาสที่เขาชนะคือ" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "คำตอบ D)" #