พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมที่มีรัศมี 2 คืออะไร?

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมที่มีรัศมี 2 คืออะไร?
Anonim

ตอบ:

# 3 * sqrt (3) ~ = 5.196 #

คำอธิบาย:

ดูรูปด้านล่าง

รูปที่แสดงถึงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมที่ # s # ย่อมาจากด้านสามเหลี่ยม # H # ย่อมาจากความสูงของสามเหลี่ยมและ # R # ย่อมาจากรัศมีของวงกลม

เราจะเห็นว่าสามเหลี่ยม ABE, ACE และ BCE นั้นสอดคล้องกันนั่นคือสาเหตุที่เราพูดมุมนั้นได้ #E hat C D = (A hat C D) / 2 = 60 ^ @ / 2 = 30 ^ @ #.

เราสามารถเห็นสิ่งต่อไปนี้ #triangle_ (CDE) # ที่

#cos 30 ^ @ = (s / 2) / R # => # s = 2 * R * cos 30 ^ @ = ยกเลิก (2) * R * sqrt (3) / ยกเลิก (2) # => # s = sqrt (3) * R #

ใน #triangle_ (ACD) # เราไม่เห็นว่า

#tan 60 ^ @ = h / (s / 2) # => # h = s * tan 60 ^ @ / 2 # => # H = sqrt (3) / 2 * s = sqrt (3) / 2 * sqrt (3) * R # => # H = (3R) / 2 #

จากสูตรของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม:

# S_triangle = (ฐาน * สูง) / 2 #

เราได้รับ

# S_triangle = (s * เอช) / 2 = (sqrt (3) R * (3R) / 2) / 2 = (3 * sqrt (3) * R ^ 2) / 4 = (3 * sqrt (3) * ยกเลิก (2 ^ 2)) / ยกเลิก (4) = 3 * sqrt (3) #