สมมติว่ามีพื้นฐานสำหรับและขนาดที่แน่นอนสำหรับ subspace W ใน RR ^ 4 ทำไมจำนวนมิติ 2

ตอบ:

4 มิติลบ 2 ข้อ จำกัด = 2 มิติ

คำอธิบาย:

พิกัดที่ 3 และ 4 เป็นเพียงอิสระเท่านั้น สองคนแรกสามารถแสดงในแง่ของสองคนสุดท้าย

ตอบ:

มิติของพื้นที่ย่อยถูกตัดสินโดยฐานและไม่ใช่มิติของพื้นที่เวกเตอร์ใด ๆ ที่เป็นพื้นที่ย่อยของ

คำอธิบาย:

มิติของพื้นที่เวคเตอร์ถูกกำหนดโดยจำนวนของเวกเตอร์ในพื้นฐานของพื้นที่นั้น (สำหรับปริภูมิมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดมันถูกกำหนดโดยความสำคัญของพื้นฐาน) โปรดทราบว่าคำจำกัดความนี้สอดคล้องกันเนื่องจากเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าพื้นฐานของพื้นที่เวคเตอร์ใด ๆ จะมีจำนวนเวคเตอร์เท่ากันกับพื้นฐานอื่นใด

ในกรณีของ # RR ^ n # เรารู้ว่า #dim (RR ^ n) = n # เช่น

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

เป็นพื้นฐานสำหรับ # RR ^ n # และมี # n # องค์ประกอบ

ในกรณีของ #W = s, t ใน RR # เราสามารถเขียนองค์ประกอบใด ๆ ใน # W # เช่น #svec (u) + tvec (v) # ที่ไหน #vec (u) = (4,1,0,1) # และ #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

จากนี้เรามีสิ่งนั้น # {vec (u), vec (v)} # เป็นชุดสแปนสำหรับ # W #. เพราะ #vec (U) # และ #vec (V) # ไม่ชัดเจนว่าเป็นทวีคูณสเกลาร์ของกันและกัน (สังเกตตำแหน่งของ #0#s) นั่นหมายความว่า # {vec (u), vec (v)} # เป็น spanning อิสระเชิงเส้นตั้งไว้สำหรับ # W #นั่นคือพื้นฐาน เพราะ # W # มีพื้นฐานด้วย #2# องค์ประกอบเราบอกว่า #dim (W) = 2 #.

โปรดทราบว่าขนาดของพื้นที่เวกเตอร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเวกเตอร์นั้นอาจมีอยู่ในพื้นที่เวกเตอร์อื่นที่มีขนาดใหญ่กว่า ความสัมพันธ์เพียงอย่างเดียวคือถ้า # W # เป็นพื้นที่ย่อยของ # V # แล้วก็ #dim (W) <= สลัว (V) # และ #dim (W) = dim (V) <=> W = V #