คุณใช้การทดสอบแบบรวมเพื่อกำหนดค่าการลู่เข้าหรือการเบี่ยงเบนของอนุกรม: sum n e ^ -n จาก n = 1 ถึงอนันต์อย่างไร

ตอบ:

รับอินทิกรัล # int_1 ^ ^ ooxe -xdx #ซึ่งมีขอบเขต จำกัด และโปรดทราบว่ามีขอบเขต #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. ดังนั้นมันจึงเป็นคอนเวอร์เจนซ์ดังนั้น #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # ก็เช่นกัน

คำอธิบาย:

คำแถลงอย่างเป็นทางการของการทดสอบครบถ้วนระบุว่าหาก #fin 0, OO) rightarrowRR # ฟังก์ชั่นลดเสียงเดียวซึ่งไม่เป็นลบ แล้วนำมารวมกัน #sum_ (n = 0) ^ OOF (n) # เป็นคอนเวอร์เจนซ์ถ้าและถ้าหาก # "จีบ" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) DX # มี จำกัด (เอกภาพเทอเรนซ์การวิเคราะห์ฉันพิมพ์ครั้งที่สองสำนักหนังสือชาวฮินดู 2552)

ข้อความนี้อาจดูเหมือนเป็นเรื่องทางเทคนิคเล็กน้อย แต่ความคิดมีดังต่อไปนี้ การในกรณีนี้ฟังก์ชั่น # f (x) = XE ^ (- x) #เราทราบว่าสำหรับ # x> 1 #ฟังก์ชั่นนี้ลดลง เราสามารถเห็นสิ่งนี้ได้โดยการหาอนุพันธ์ # f '(x) = E ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) จ ^ (- x) <0 #, ตั้งแต่ # x> 1 #ดังนั้น # (1-x) <0 # และ #E ^ (- x)> 0 #.

ด้วยเหตุนี้เราจึงทราบว่าสำหรับใด ๆ #ninNN _ (> = 2) # และ #x ใน 1, oo) # ดังนั้น # x <= n # เรามี # f (x)> = f (n) #. ดังนั้น #int_ (n-1) ^ nf (x) DX> = int_ (n-1) ^ nf (n) DX = f (n) #ดังนั้น #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) DX = f (1) + int_1 ^ Nf (x) DX #.

# int_1 ^ OOF (x) DX = int_1 ^ ^ ooxe (- x) DX = -int_ (x = 1) ^ ^ ooxde (- x) = - XE ^ (- x) | _1 ^ OO + int_1 ^ ^ ooe (-x) DX ## = - XE ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / E # ใช้การรวมโดยชิ้นส่วนและที่ #lim_ (xrightarrowoo) จ ^ = -x lim_ (xrightarrowoo) XE ^ -x = 0 #.

ตั้งแต่ # f (x)> = 0 #, เรามี # E / 2 = ^ int_1 OOF (x) DX> = ^ int_1 Nf (x) DX #ดังนั้น #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / E = 3 / E #. ตั้งแต่ # f (n)> = 0 #, ซีรี่ย์ #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # เพิ่มขึ้นเป็น # N # เพิ่มขึ้น เนื่องจากมันถูก จำกัด ด้วย # 3 / E #มันจะต้องมาบรรจบกัน ดังนั้น #sum_ (n = 1) ^ OOF (n) # ลู่