เครื่องหมายอัศเจรีย์หมายถึงอะไรในคณิตศาสตร์? + ตัวอย่าง

ตอบ:

เครื่องหมายอัศเจรีย์แสดงถึงสิ่งที่เรียกว่า ปัจจัย.

คำอธิบาย:

ความหมายอย่างเป็นทางการของ #N #! (แฟคทอเรียล) เป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดน้อยกว่าหรือเท่ากับ # n #. ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์:

#N! = n * (n-1) * (n-2) … #

เชื่อใจฉันมันสับสนน้อยกว่าฟังดู สมมติว่าคุณต้องการค้นหา #5!#. คุณเพียงแค่คูณตัวเลขทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ #5# จนกว่าคุณจะไป #1#:

#5! = 5*4*3*2*1=120#

หรือ #6!#:

#6! = 6*5*4*3*2*1=720#

สิ่งที่ดีเกี่ยวกับแฟคทอเรียลคือคุณสามารถทำให้มันง่ายขึ้นได้อย่างไร สมมติว่าคุณได้รับปัญหาต่อไปนี้:

คำนวณ #(10!)/(9!)#.

จากสิ่งที่ฉันได้บอกคุณข้างต้นคุณอาจคิดว่าคุณจะต้องทวีคูณ #10*9*8*7…# และหารด้วย #9*8*7*6…#ซึ่งอาจใช้เวลานาน อย่างไรก็ตามมันไม่จำเป็นต้องยากขนาดนั้น ตั้งแต่ #10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1#และ #9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1#คุณสามารถแสดงปัญหาดังนี้:

#(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1)#

และดูที่! ตัวเลข #1# ตลอด #9# ยกเลิก:

# (10 * * * * * * * * cancel9 cancel8 * * * * * * * * cancel7 cancel6 * * * * * * * * cancel5 cancel4 * * * * * * * * cancel3 cancel2 * cancel1) / (cancel9 * * * * * * * * cancel8 cancel7 * * * * * * * * cancel6 cancel5 * * * * * * * * cancel4 cancel3 * * * * * * * * cancel2 cancel1) #

ทิ้งเราไว้ด้วย #10# ดังผลลัพท์.

ยังไงซะ, #0! = 1#. เพื่อหาสาเหตุให้ตรวจสอบลิงค์นี้

การประยุกต์ใช้แฟคทอเรียล

สถานที่ซึ่งแฟคทอเรียลมีประโยชน์จริงๆคือความน่าจะเป็น ตัวอย่างเช่น: คุณสามารถสร้างคำได้กี่คำจากตัวอักษร # # ABCDEโดยไม่ต้องทำซ้ำจดหมายใด ๆ ? (คำในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องสมเหตุสมผล - คุณสามารถมีได้ # AEDCB #, ตัวอย่างเช่น).

คุณมี #5# ตัวเลือกสำหรับจดหมายฉบับแรกของคุณ #4# สำหรับจดหมายฉบับถัดไปของคุณ (จำไว้ว่าไม่มีการทำซ้ำหากคุณเลือก # A # สำหรับจดหมายฉบับแรกของคุณคุณสามารถเลือกได้ # BCDE # สำหรับวินาทีของคุณ) #3# สำหรับครั้งต่อไป #2# สำหรับหนึ่งหลังจากนั้นและ #1# สำหรับอันสุดท้าย กฎความน่าจะเป็นบอกจำนวนคำทั้งหมดว่าเป็นผลผลิตของตัวเลือก:

#underbrace (5) _ ("ตัวเลือกสำหรับตัวอักษรตัวแรก") * 4 * 3 * 2 * 1 #

และสี่คือจำนวนตัวเลือกสำหรับตัวอักษรตัวที่สองเป็นต้น แต่เดี๋ยวก่อน - เรารับรู้สิ่งนี้ถูกต้อง! มัน #5!#:

#5! = 5*4*3*2*1=120#

ดังนั้นจึงมี #120# วิธี

คุณจะเห็นแฟคทอเรียลที่ใช้ พีชคณิต และ อยู่รวมกัน ซึ่งยังเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็น สัญลักษณ์สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนคือ # "_ nP_r #และสัญลักษณ์สำหรับการรวมกันคือ # "_ nC_r # (คนใช้ # ((n), (R)) # สำหรับการรวมกันส่วนใหญ่เวลาและคุณพูดว่า "n เลือก r".) สูตรสำหรับพวกเขาคือ:

# "_ nP_r = (n!) / ((n-R)) #

# "_ nC_r = (n!) / ((n-R)! R!) #

ที่นั่นเราเห็นเพื่อนของเราเป็นแฟคทอเรียล คำอธิบายของการเรียงสับเปลี่ยนและชุดค่าผสมจะทำให้คำตอบนี้มีความยาวมากขึ้นอีกต่อไปดังนั้นโปรดดูที่ลิงก์นี้