อินทิกรัลของ int tan ^ 4x dx คืออะไร?

ตอบ:

# (สีน้ำตาล ^ 3x) / 3 Tanx + X + C #

คำอธิบาย:

การแก้แอนติเดริเวทีฟทริกมักเกี่ยวข้องกับการทำลายอินทิกรัลลงเพื่อใช้อัตลักษณ์ของพีทาโกรัสและใช้ a #ยู#-การแทน. นั่นคือสิ่งที่เราจะทำที่นี่

เริ่มต้นด้วยการเขียนใหม่ # inttan ^ 4xdx # เช่น # inttan ^ ^ 2xtan 2xdx #. ตอนนี้เราสามารถใช้ Pythagorean Identity ได้แล้ว # สีน้ำตาล ^ 2x + 1 = วินาที ^ 2x #, หรือ # สีน้ำตาล ^ 2x = วินาที ^ 2x-1 #:

# inttan ^ ^ 2xtan 2xdx = int (วินาที ^ 2x-1) สีน้ำตาล ^ 2xdx #

การกระจาย # สีน้ำตาล ^ 2x #:

#COLOR (สีขาว) (XX) = ^ intsec 2xtan ^ ^ 2xtan 2xdx #

การใช้กฎผลรวม:

#COLOR (สีขาว) (XX) = intsec ^ ^ 2xtan 2xdx-inttan ^ 2xdx #

เราจะประเมินอินทิกรัลเหล่านี้ทีละคน

ส่วนประกอบแรก

อันนี้แก้ไขได้โดยใช้ #ยู#-การแทน:

ปล่อย # U = Tanx #

# (du) / DX = วินาที ^ 2x #

# du = วินาที ^ 2xdx #

ใช้การทดแทน

#COLOR (สีขาว) (XX) intsec ^ ^ 2xtan 2xdx = ^ INTU 2DU #

#COLOR (สีขาว) (XX) = ^ u ที่ 3/3 + C #

เพราะ # U = Tanx #, # intsec ^ ^ 2xtan 2xdx = (สีน้ำตาล ^ 3x) / 3 + C #

ส่วนประกอบที่สอง

เนื่องจากเราไม่รู้จริงๆ # inttan ^ 2xdx # คือโดยดูที่มันลองใช้ # สีน้ำตาล ^ 2 = วินาที ^ 2x-1 # ตัวตนอีกครั้ง:

# inttan ^ 2xdx = int (วินาที ^ 2x-1) DX #

การใช้กฎผลรวมนั้นอินทิกรัลเดือดลงไปที่:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

ครั้งแรกของเหล่านี้ # intsec ^ 2xdx #เป็นเพียง # Tanx + C #. ส่วนที่สองเรียกว่า "ปริพันธ์สมบูรณ์แบบ" นั้นเรียบง่าย # x + C #. เราสามารถพูดได้ว่า:

# inttan ^ = 2xdx Tanx + C-X + C #

และเพราะว่า # C + C # เป็นเพียงค่าคงที่อีกตัวหนึ่งเราสามารถรวมเข้าเป็นค่าคงที่ทั่วไป # C #:

# inttan ^ = 2xdx Tanx-X + C #

เมื่อรวมผลลัพธ์ทั้งสองเข้าด้วยกันเรามี:

# inttan ^ = 4xdx intsec ^ ^ 2xtan 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((สีน้ำตาล ^ 3x) / 3 + C) - (Tanx-X + C) = (สีน้ำตาล ^ 3x) / 3 Tanx + X + C #

อีกครั้งเพราะ # C + C # เป็นค่าคงที่เราสามารถรวมมันเข้าเป็นหนึ่งเดียว # C #.

อินทิกรัลของ int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx คืออะไร?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C ปัญหาใหญ่ของเราในอินทิกรัลนี้คือรากดังนั้นเราจึงต้องการกำจัดมัน เราสามารถทำได้โดยการแนะนำการทดแทน u = sqrt (2x-1) อนุพันธ์คือ (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) ดังนั้นเราจึงหารผ่าน (และจำไว้ว่าการหารด้วยส่วนกลับจะเหมือนกับการคูณด้วยตัวส่วน) เพื่อรวมเข้ากับ u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / ยกเลิก (sqrt (2x-1)) ยกเลิก (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือแสดง x ^ 2 ในแง่ของ u (เนื่องจากคุณไม่สามารถรวม x ที่เกี่ยวข้องกับ u): u = sqrt (2x-1) u ^ 2 = 2x- 1 u ^ 2 + 1 = 2x (u ^ 2 + 1) / 2 = xx ^ 2 = (

อินทิกรัลของ int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx คืออะไร?

1/2 [-ln (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) + 1)) + LN (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + E ^ (2x)) + C ก่อนอื่นเราแทนที่: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du ดำเนินการ การทดแทนที่สอง: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Split โดยใช้เศษส่วนบางส่วน: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 ตอนนี้เรามี: -1 /

อินทิกรัลของ int tan ^ 5 (x) คืออะไร?

Int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | วินาที (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx เมื่อทราบความจริงว่า tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1 เราสามารถเขียนใหม่เป็น int (วินาที ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx ซึ่งให้ผล int sec ^ 3 (x) วินาที (x) tan (x) dx-2int วินาที ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx อินทิกรัลแรก: ให้ u = วินาที (x) -> du = วินาที (x) tan (x) dx อินทิกรัลสอง: Let u = sec (x) -> du = วินาที (x) tan (x) dx ดังนั้น int คุณ ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx ด้วย โปรดทราบว่า int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, ให้เรา 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C การแทนที่ U กลับเข้าไปในนิพจน์ท