อินทิกรัลของ int tan ^ 4x dx คืออะไร?

ตอบ:

# (สีน้ำตาล ^ 3x) / 3 Tanx + X + C #

คำอธิบาย:

การแก้แอนติเดริเวทีฟทริกมักเกี่ยวข้องกับการทำลายอินทิกรัลลงเพื่อใช้อัตลักษณ์ของพีทาโกรัสและใช้ a #ยู#-การแทน. นั่นคือสิ่งที่เราจะทำที่นี่

เริ่มต้นด้วยการเขียนใหม่ # inttan ^ 4xdx # เช่น # inttan ^ ^ 2xtan 2xdx #. ตอนนี้เราสามารถใช้ Pythagorean Identity ได้แล้ว # สีน้ำตาล ^ 2x + 1 = วินาที ^ 2x #, หรือ # สีน้ำตาล ^ 2x = วินาที ^ 2x-1 #:

# inttan ^ ^ 2xtan 2xdx = int (วินาที ^ 2x-1) สีน้ำตาล ^ 2xdx #

การกระจาย # สีน้ำตาล ^ 2x #:

#COLOR (สีขาว) (XX) = ^ intsec 2xtan ^ ^ 2xtan 2xdx #

การใช้กฎผลรวม:

#COLOR (สีขาว) (XX) = intsec ^ ^ 2xtan 2xdx-inttan ^ 2xdx #

เราจะประเมินอินทิกรัลเหล่านี้ทีละคน

ส่วนประกอบแรก

อันนี้แก้ไขได้โดยใช้ #ยู#-การแทน:

ปล่อย # U = Tanx #

# (du) / DX = วินาที ^ 2x #

# du = วินาที ^ 2xdx #

ใช้การทดแทน

#COLOR (สีขาว) (XX) intsec ^ ^ 2xtan 2xdx = ^ INTU 2DU #

#COLOR (สีขาว) (XX) = ^ u ที่ 3/3 + C #

เพราะ # U = Tanx #, # intsec ^ ^ 2xtan 2xdx = (สีน้ำตาล ^ 3x) / 3 + C #

ส่วนประกอบที่สอง

เนื่องจากเราไม่รู้จริงๆ # inttan ^ 2xdx # คือโดยดูที่มันลองใช้ # สีน้ำตาล ^ 2 = วินาที ^ 2x-1 # ตัวตนอีกครั้ง:

# inttan ^ 2xdx = int (วินาที ^ 2x-1) DX #

การใช้กฎผลรวมนั้นอินทิกรัลเดือดลงไปที่:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

ครั้งแรกของเหล่านี้ # intsec ^ 2xdx #เป็นเพียง # Tanx + C #. ส่วนที่สองเรียกว่า "ปริพันธ์สมบูรณ์แบบ" นั้นเรียบง่าย # x + C #. เราสามารถพูดได้ว่า:

# inttan ^ = 2xdx Tanx + C-X + C #

และเพราะว่า # C + C # เป็นเพียงค่าคงที่อีกตัวหนึ่งเราสามารถรวมเข้าเป็นค่าคงที่ทั่วไป # C #:

# inttan ^ = 2xdx Tanx-X + C #

เมื่อรวมผลลัพธ์ทั้งสองเข้าด้วยกันเรามี:

# inttan ^ = 4xdx intsec ^ ^ 2xtan 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((สีน้ำตาล ^ 3x) / 3 + C) - (Tanx-X + C) = (สีน้ำตาล ^ 3x) / 3 Tanx + X + C #

อีกครั้งเพราะ # C + C # เป็นค่าคงที่เราสามารถรวมมันเข้าเป็นหนึ่งเดียว # C #.