อินทิกรัลของ int tan ^ 5 (x) คืออะไร?

ตอบ:

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | วินาที (x) | + C #

คำอธิบาย:

#int tan ^ (5) (x) dx #

รู้ความจริงที่ว่า # tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1 #เราสามารถเขียนใหม่เป็น

#int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx #ซึ่งทำให้

#int sec ^ 3 (x) วินาที (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx #

อินทิกรัลแรก:

ปล่อย # u = วินาที (x) -> du = วินาที (x) tan (x) dx #

อินทิกรัลที่สอง:

ปล่อย #u = วินาที (x) -> du = วินาที (x) tan (x) dx #

ดังนั้น

#int u ^ 3 du - 2int u du + int แทน (x) dx #

ยังทราบด้วยว่า #int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C #ดังนั้นให้เรา

# 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | วินาที (x) | + C #

แทน #ยู# กลับเข้ามาในนิพจน์ทำให้เราได้ผลลัพธ์สุดท้าย

# 1 / 4sec ^ (4) (x) -cancel (2) * (1 / ยกเลิก (2)) วินาที ^ (2) (x) + LN | วินาที (x) | + C #

ดังนั้น

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | วินาที (x) | + C #

อินทิกรัลของ int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx คืออะไร?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C ปัญหาใหญ่ของเราในอินทิกรัลนี้คือรากดังนั้นเราจึงต้องการกำจัดมัน เราสามารถทำได้โดยการแนะนำการทดแทน u = sqrt (2x-1) อนุพันธ์คือ (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) ดังนั้นเราจึงหารผ่าน (และจำไว้ว่าการหารด้วยส่วนกลับจะเหมือนกับการคูณด้วยตัวส่วน) เพื่อรวมเข้ากับ u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / ยกเลิก (sqrt (2x-1)) ยกเลิก (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือแสดง x ^ 2 ในแง่ของ u (เนื่องจากคุณไม่สามารถรวม x ที่เกี่ยวข้องกับ u): u = sqrt (2x-1) u ^ 2 = 2x- 1 u ^ 2 + 1 = 2x (u ^ 2 + 1) / 2 = xx ^ 2 = (

อินทิกรัลของ int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx คืออะไร?

1/2 [-ln (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) + 1)) + LN (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + E ^ (2x)) + C ก่อนอื่นเราแทนที่: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du ดำเนินการ การทดแทนที่สอง: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Split โดยใช้เศษส่วนบางส่วน: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 ตอนนี้เรามี: -1 /

อินทิกรัลของ int tan ^ 4x dx คืออะไร?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C การแก้ antiderivatives trig มักจะเกี่ยวข้องกับการแยกอินทิกรัลลงเพื่อใช้อัตลักษณ์ของพีทาโกรัสและใช้การทดแทนยู - นั่นคือสิ่งที่เราจะทำที่นี่ เริ่มต้นด้วยการเขียนใหม่ inttan ^ 4xdx เป็น inttan ^ 2xtan ^ 2xdx ตอนนี้เราสามารถใช้ Pythagorean Identity tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x หรือ tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (วินาที ^ 2x-1) tan ^ 2xdx การกระจาย tan ^ 2x : color (white) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx การใช้กฎผลรวม: color (white) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx เราจะประเมินอินทิกรัลเหล่านี้ทีละรายการ First Integral อันนี้แก้ไขได้โดยใช้การแทนที่ u: ให้ u = tanx (du)