คำถาม # 35a7e

ตอบ:

ดังที่ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นด้านล่างนี้เป็นซีรี่ส์ MacLaurin สำหรับ #f (x) = cos (x) #และเรารู้ว่าสิ่งนี้มาบรรจบกัน # (- oo, oo) #. อย่างไรก็ตามหากคุณต้องการดูกระบวนการ:

คำอธิบาย:

เนื่องจากเรามีแฟกทอเรียลในตัวส่วนเราจึงใช้ การทดสอบอัตราส่วน เนื่องจากสิ่งนี้ทำให้การลดความซับซ้อนง่ายขึ้นเล็กน้อย สูตรนี้คือ:

#lim_ (n-> OO) (a_ (n + 1) / a_n) #

หากนี่คือ <1 ชุดของคุณจะมาบรรจบกัน

หากนี่คือ> 1 ซีรีส์ของคุณจะเปลี่ยนไป

หากนี่คือ = 1 การทดสอบของคุณจะไม่สามารถสรุปได้

ดังนั้นให้ทำสิ่งนี้:

#lim_ (K-> OO) เอบีเอส ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2))) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

หมายเหตุ: โปรดระมัดระวังเกี่ยวกับวิธีเสียบ (k + 1) 2k จะเปลี่ยนเป็น 2 (k + 1) ไม่ใช่ 2k + 1

ฉันคูณด้วยส่วนกลับของ # x ^ (2k) / ((2k)!) # แทนที่จะแบ่งเพียงเพื่อทำให้งานง่ายขึ้นเล็กน้อย

ทีนี้เราลองพีชคณิตกัน เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ข้อกำหนดในการเปลี่ยนของเรา (เช่น # (- 1) ^ k #) กำลังจะยกเลิกเนื่องจากเราจะได้คำตอบที่ดีเสมอ:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!))) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

เราสามารถยกเลิกของเรา # x ^ (2k) #'s:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * * (2k)!) #

ตอนนี้เราต้องยกเลิกแฟกทอเรียล

จำได้ว่า # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

นอกจากนี้ # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

หมายเหตุ:

# (2k)! = color (red) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * color (สีแดง) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

อย่างที่คุณเห็นเรา # (2k) #! เป็นส่วนหนึ่งของ # (2k + 2)! #. เราสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อยกเลิกคำศัพท์ทั่วไปทุกคำ:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = ยกเลิก (สี (แดง) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * ยกเลิก (สี (สีแดง) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

ใบนี้

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

ตอนนี้เราสามารถประเมินขีด จำกัด นี้ได้ โปรดทราบว่าเนื่องจากเราไม่ได้ดำเนินการตามข้อ จำกัด นี้ด้วยความเคารพ # x #เราสามารถแยกมันออกได้:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

อย่างที่คุณเห็น จำกัด นี้ = 0 ซึ่งน้อยกว่า 1 ทีนี้เราถามตัวเอง: มีค่าใด ๆ # x # ข้อ จำกัด นี้จะเป็น 1 และคำตอบคือไม่เนื่องจากทุกอย่างคูณด้วย 0 คือ 0

ดังนั้นตั้งแต่ #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!))) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # สำหรับค่าทั้งหมดของ # x #เราสามารถพูดได้ว่ามันมีช่วงเวลาของการบรรจบกันของ # (- oo, oo) #.

หวังว่าจะช่วย:)