ความหมายของขีด จำกัด ของฟังก์ชันคืออะไร

ตอบ:

คำสั่ง #lim_ (x a) f (x) = L # หมายถึง: เป็น # x # เข้าใกล้ # A #, # f (x) # เข้าใกล้ # L #.

คำอธิบาย:

คำจำกัดความที่แม่นยำคือ:

สำหรับจำนวนจริงใด ๆ #ε>0#มีอีกจำนวนจริง #δ>0# เช่นนั้นถ้า # 0 <| x-A |<>จากนั้น # | f (x) -L |<>.

พิจารณาฟังก์ชั่น #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

หากเราพล็อตกราฟดูเหมือนว่า:

เราไม่สามารถพูดได้ว่าสิ่งที่มีค่าอยู่ที่ # x = 1 #แต่มันดูราวกับว่า # f (x) # วิธีการ #2# เช่น # x # วิธีการ #1#.

ลองแสดงให้เห็นว่า #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

คำถามคือเราจะได้อย่างไรจาก # 0 <| x-1 |<> ไปยัง # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

เราต้องเริ่มต้นด้วยค่าบางส่วนของ #ε# จากนั้นค้นหาการค้นหาค่าที่สอดคล้องกันสำหรับ #δ#.

เริ่มกันเลย

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

เงื่อนไขอื่น ๆ คือ

# | x-1 | <δ #

คำจำกัดความที่พอดีถ้า #δ = ε#.

เราเพิ่งจะแสดงให้เห็นว่าสำหรับใด ๆ #ε#มี #δ# ดังนั้น # | f (x) -2 |<> เมื่อ # 0 <| x-1 |<>.

ดังนั้นเราจึงได้แสดงให้เห็นว่า

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #