คุณจะพิสูจน์การกระจายของปัวซองได้อย่างไร

ตอบ:

# "ดูคำอธิบาย" #

คำอธิบาย:

# "เราใช้เวลาช่วงหนึ่งที่มีความยาว" t "ซึ่งประกอบด้วย n ชิ้น" #

#Delta t = t / n "สมมติว่ามีโอกาสสำหรับเหตุการณ์ที่ประสบความสำเร็จ" #

# "ในชิ้นเดียวคือ" p "จากนั้นจำนวนกิจกรรมทั้งหมดใน n" #

# "แบ่งเวลาเป็นทวินามตาม" #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "กับ" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(ชุดค่าผสม)" #

# "ตอนนี้เราปล่อยให้" #

# n-> oo "ดังนั้น" p-> 0, "แต่" n * p = lambda #

# "ดังนั้นเราจึงแทนที่" p = lambda / n "ใน" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (แลมบ์ดา / n) ^ x (1-แลมบ์ดา / n) ^ (n-x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-lambda / n) ^ x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1)) / (n (1-lambda) / n)) ^ x #

# "สำหรับ" n -> oo "สิ่งที่อยู่ระหว่าง … " -> 1 "และ" #

# (1 - แลมบ์ดา / n) ^ n -> e ^ -lambda "(ขีด จำกัด ของออยเลอร์)," #

# "ดังนั้นเราได้รับ" #

#p_x (x) = (lambda ^ x e ^ -lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #