คำถาม # 6bd6c

ตอบ:

0

คำอธิบาย:

#f (x) = x ^ 3-x # เป็นฟังก์ชั่นคี่ มันตรวจสอบ #f (x) = -f (-x) #

ดังนั้น # int_-1 ^ 1f (x) dx = int_-1 ^ 0f (x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (f (x) + f (-x)) DX = 0 #

ตอบ:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3 x) DX = 0 #

อาจเป็นพื้นที่ แต่ฟังก์ชันไม่รักษาสัญญาณคงที่ระหว่าง #x ใน -1,1 #. นอกจากนี้เนื่องจากสมมาตรมา # x = 0 # ซึ่งจะลดลงครึ่งหนึ่งของช่วงเวลานี้พื้นที่จะยกเลิกซึ่งกันและกันและทำให้พื้นที่เป็นศูนย์

คำอธิบาย:

เรขาคณิตส่วนประกอบของฟังก์ชันเพียงตัวแปรเดียวเท่ากับพื้นที่ อย่างไรก็ตามรูปทรงเรขาคณิตแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นที่มีค่าน้อยกว่าถูกย่อลงมาจากฟังก์ชั่นที่มีค่ามากขึ้นเพื่อให้พื้นที่ไม่ถูกลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสองฟังก์ชั่น # f (x) # และ #G (x) # พื้นที่ระหว่างกราฟสองกราฟ # a, b # คือ:

# int_a ^ ข | f (x) -g (x) | DX #

นั่นคือเราต้องรู้ว่าหนึ่งในกรณีต่อไปนี้มีจริง:

#f (x)> g (x) #

#f (x) <g (x) #

ตอนนี้พิจารณาฟังก์ชั่นของคุณค้นหาสัญลักษณ์ของความแตกต่างระหว่างฟังก์ชั่นเหล่านี้:

# x ^ 3 x = 0 #

# x (x ^ 2-1) = 0 #

# x (x-1) (x + 1) = 0 #

เราเห็นว่าสำหรับพื้นที่ที่กำหนดของ #-1,1# ที่การออกกำลังกายให้คุณสัญญาณจริง ๆ เปลี่ยนจากบวกเป็นลบที่ # x = 0 #. ดังนั้นในรูปเรขาคณิตอินทิกรัล จำกัด เขตนี้จึงไม่ได้เป็นตัวแทนของพื้นที่ พื้นที่จริงคือ:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3 x) DX-int_0 ^ 1 (x ^ 3 x) DX #

เนื่องจากพื้นที่จาก 0 ถึง 1 จะเป็นลบเราก็แค่เพิ่มเครื่องหมายลบเพื่อให้มันเพิ่มขึ้น หากคุณแก้ปัญหาอินทิกรัล:

# A = x ^ 04/04-x ^ 2/2 _- ^ 1 0- x ^ 04/04-x ^ 2/2 _0 ^ 1 #

# A = 4/1 - (- 1/4) #

#Α=2/4#

ขอให้สังเกตว่าอินทิกรัลทั้งสองให้ค่าเท่ากันหรือไม่ นั่นเป็นเพราะสมมาตรของฟังก์ชันซึ่งทำให้อินทิกรัลของคุณเป็นลบ

เพื่อสรุป:

อินทิกรัลของคุณเท่ากับ:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3 x) DX = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- ^ 1 1 = 1 / 4-1 / 4 = 0 #

พื้นที่ของฟังก์ชั่นถ้ามันถูกถามจะเป็น:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3 x) DX-int_0 ^ 1 (x ^ 3 x) DX = 4/1 + 1/4 = 2/4 #

ดังนั้นมันอาจเตือนพื้นที่ได้ แต่อินทิกรัลที่คุณให้มาไม่ได้แทนพื้นที่ (คุณสามารถรู้ได้ตั้งแต่ต้นเนื่องจากพื้นที่ไม่สามารถเป็น 0) ผลลัพธ์ทางเรขาคณิตเท่านั้นที่สามารถรับได้คือสมมาตรของฟังก์ชัน สำหรับแกนสมมาตร # x = 0 # ค่าสมมาตรของ # x # #-1# และ #+1# ให้พื้นที่เท่ากันดังนั้นฟังก์ชันจึงมีความสมมาตรมากที่สุด การทำกราฟทั้งสองฟังก์ชั่นในแผ่นงานเดียวกันคุณจะเห็นได้ว่าสมมาตรเป็นจริง: