อนุพันธ์อันดับสองของ y = x * sqrt (16-x ^ 2) คืออะไร?

ตอบ:

# y ^ ('') = (2 * x (x ^ 2 - 24)) / ((16-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2)) #

คำอธิบาย:

เริ่มต้นด้วยการคำนวณอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันของคุณ #y = x * sqrt (16-x ^ 2) # โดยใช้กฎผลิตภัณฑ์

คุณจะได้รับนี้

# d / dx (y) = d / dx (x) * sqrt (16 - x ^ 2) + x * d / dx (sqrt (16 - x ^ 2)) #

คุณสามารถแยกความแตกต่าง # d / dx (sqrt (16 -x ^ 2)) # โดยใช้กฎลูกโซ่สำหรับ #sqrt (U) #กับ #u = 16 -x ^ 2 #.

# d / dx (sqrt (u)) = d / (du) sqrt (u) * d / dx (u) #

# d / dx (sqrt (u)) = 1/2 * 1 / sqrt (u) * d / dx (16-x ^ 2) #

# d / dx (sqrt (16-x ^ 2)) = 1 / color (สีแดง) (ยกเลิก (สี (สีดำ) (2)))) * 1 / sqrt (16-x ^ 2) * (-color (สีแดง) (ยกเลิก (สี (สีดำ) (2))) x) #

# d / dx (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / sqrt (16-x ^ 2) #

เสียบกลับไปที่การคำนวณของคุณ # y ^ '#.

# y ^ '= 1 * sqrt (16-x ^ 2) + x * (-x / sqrt (16-x ^ 2)) #

# y ^ '= 1 / sqrt (16-x ^ 2) * (16-x ^ 2 - x ^ 2) #

# y ^ '= (2 (8-x ^ 2)) / sqrt (16-x ^ 2) #

การค้นหา # y ^ ('') # คุณต้องคำนวณ # d / DX (y ^ ') # โดยใช้กฎความฉลาด

# d / dx (y ^ ') = 2 * (d / dx (8-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2) - (8-x ^ 2) * d / dx (sqrt (16 -x ^ 2))) / (sqrt (16-x ^ 2)) ^ 2 #

# y ^ ('') = 2 * (-2x * sqrt (16-x ^ 2) - (8-x ^ 2) * (-x / sqrt (16-x ^ 2))) / (16-x ^ 2) #

# y ^ ('') = 2 * (1 / sqrt (16-x ^ 2) * -2x * (16-x ^ 2) + x * (8-x ^ 2) / (16-x ^ 2) #

# y ^ ('') = 2 / (sqrt (16-x ^ 2) * (16-x ^ 2)) * (-32x + 2x ^ 3 + 8x - x ^ 3) #

ในที่สุดคุณก็มี

# y ^ ('') = สี (สีเขียว) ((2 * x (x ^ 2 - 24)) / ((16-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2))) #