โดเมนและช่วงของ (2/3) ^ x - 9 คืออะไร

ตอบ:

โดเมน: # (- oo, oo) #

พิสัย: # (- 9, oo) #

คำอธิบาย:

ทราบก่อนว่า # (2/3) ^ x-9 # มีการกำหนดไว้อย่างดีสำหรับมูลค่าที่แท้จริงใด ๆ ของ # x #. ดังนั้นโดเมนจึงเป็นทั้งหมด # RR #เช่น # (- oo, oo) #

ตั้งแต่ #0 < 2/3 < 1#, ฟังก์ชั่น # (2/3) ^ x # เป็นฟังก์ชั่นการลดลงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลซึ่งรับค่าบวกจำนวนมากเมื่อ # x # มีขนาดใหญ่และเชิงลบและเป็นแบบซีมโทติค #0# สำหรับค่าบวกจำนวนมากของ # x #.

ในขีด จำกัด สัญกรณ์เราสามารถเขียน:

#lim_ (x -> - oo) (2/3) ^ x = -oo #

#lim_ (x-> oo) (2/3) ^ x = 0 #

# (2/3) ^ x # มีการลดลงอย่างต่อเนื่องและ monotonically อย่างเคร่งครัดดังนั้นช่วงของมันคือ # (0, oo) #.

ลบออก #9# เพื่อหาช่วงของ # (2/3) ^ x # คือ # (- 9, oo) #.

ปล่อย:

#y = (2/3) ^ x-9 #

แล้ว:

# y + 9 = (2/3) ^ x #

ถ้า #y> -9 # จากนั้นเราสามารถบันทึกทั้งสองด้านเพื่อค้นหา:

#log (y + 9) = บันทึก ((2/3) ^ x) = x บันทึก (2/3) #

และด้วยเหตุนี้:

#x = บันทึก (y + 9) / บันทึก (2/3) #

ดังนั้นสำหรับ ๆ #y ใน (-9, oo) # เราสามารถหาที่สอดคล้องกัน # x # ดังนั้น:

# (2/3) ^ x-9 = y #

ยืนยันว่าช่วงนั้นเป็นจำนวนเต็ม # (- 9, oo) #.