คะแนน extrema และ saddle ของ f (x, y) = xy (1-x-y) คืออะไร?

ตอบ:

จุดต่างๆ #(0,0),(1,0)#และ #(0,1)# เป็นจุดอาน ประเด็น #(1/3,1/3)# เป็นจุดสูงสุดในท้องถิ่น

คำอธิบาย:

เราสามารถขยาย # F # ไปยัง # f (x, y) = XY-x ^ 2y-XY ^ 2 #. จากนั้นหาอนุพันธ์ย่อยและตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์

# frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

เห็นได้ชัดว่า # (x, y) = (0,0), (1,0), # และ #(0,1)# เป็นโซลูชั่นสำหรับระบบนี้และเป็นจุดสำคัญของ # F #. โซลูชันอื่นสามารถพบได้จากระบบ # 1-2x-Y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. การแก้สมการแรกสำหรับ # Y # ในแง่ของ # x # จะช่วยให้ # การ y = 1-2x #ซึ่งสามารถเสียบเข้ากับสมการที่สองเพื่อรับ # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. จากนี้, # การ y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # เช่นกัน

เพื่อทดสอบลักษณะของจุดวิกฤติเหล่านี้เราพบอนุพันธ์อันดับสอง:

# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x #และ # frac { partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { partial y partial x} = 1-2x-2y #.

การเลือกปฏิบัติจึง:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + + 4xy 4Y ^ 2) #

# = 4x + 4Y-4x ^ ^ 2-4y 2-4xy-1 #

การเสียบจุดวิกฤติสามข้อแรกในการให้:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #และ #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #ทำให้จุดเหล่านี้เป็นจุดอาน

การเสียบในจุดวิกฤติสุดท้ายจะให้ #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. ยังทราบด้วยว่า # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. ดังนั้น, #(1/3,1/3)# เป็นที่ตั้งของค่าสูงสุดในท้องถิ่นของ # F #. คุณสามารถตรวจสอบว่าค่าสูงสุดท้องถิ่นคือ # f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

ด้านล่างนี้เป็นรูปภาพของแผนที่รูปร่าง (ของเส้นโค้งระดับ) ของ # F # เส้นโค้งที่เอาต์พุตของ # F # มีค่าคงที่) พร้อมกับ 4 จุดวิกฤตของ # F #.