ตอบ:
สมการของพาราโบลาคือ # x ^ 2 + Y ^ 2 + 2xy + 5x-Y = 0 #
คำอธิบาย:
แกนของสมมาตรคือ # x + Y + 1 = 0 # และโฟกัสอยู่ที่มันถ้า abscissa ของโฟกัสอยู่ # P #บวชคือ # - (P + 1) # และพิกัดของการโฟกัสคือ # (พี - (P + 1)) #.
นอกจากนี้ directrix จะตั้งฉากกับแกนของสมมาตรและสมการของมันจะอยู่ในรูปแบบ # x-Y + K = 0 #
เนื่องจากทุกจุดบนพาราโบลาอยู่ห่างจากโฟกัสและไดเร็กทริกเท่ากันสมการของมันจะเป็น
# (x-P) ^ 2 + (y + P + 1) ^ 2 = (x-Y + k) ^ 2/2 #
พาราโบลานี้ผ่าน #(0,0)# และ #(0,1)# และด้วยเหตุนี้
# P ^ 2 + (P + 1) ^ 2 = k ^ 2/2 # ………………… (1) และ
# P ^ 2 + (+ p 2) ^ 2 = (k-1) ^ 2/2 # …………………(2)
การลบ (1) จาก (2) เราจะได้
# 2p + 3 = (- 2k + 1) / 2 #, ซึ่งจะช่วยให้ # k = -2p-2/5 #
สิ่งนี้จะช่วยลดสมการของพาราโบลาไป # (x-P) ^ 2 + (y + P + 1) ^ 2 = (x-Y-2P-5/2) ^ 2/2 #
และเมื่อมันผ่าน #(0,0)#, เราได้รับ
# P ^ 2 + P ^ 2 + 2p + 1 = (4p ^ 2 + 10p + 25/4) / 2 # หรือ # 4P + 2 = 25/4 + 10p #
นั่นคือ # 6p = -17/4 # และ # p = -17/24 #
และด้วยเหตุนี้ # k = -2xx (-17/24) -5/2 = -13/12 #
และสมการของพาราโบลาเป็น
# (x + 17/24) ^ 2 + (y + 7/24) ^ 2 = (x-Y-13/12) ^ 2/2 # และคูณด้วย #576=24^2#, เราได้รับ
หรือ # (24x + 17) ^ 2 + (24y + 7) ^ 2 = 2 (12x-12y-13) ^ 2 #
หรือ # 576x ^ 2 + 816x + 289 + 576y ^ 2 + 336y + 49 = 2 (144x ^ 2 + 144y ^ 2 + 169-288xy-312x + 312y #
หรือ # 288x ^ 2 + 288y ^ 2 + + 576xy 1440x-288y = 0 #
หรือ # x ^ 2 + Y ^ 2 + 2xy + 5x-Y = 0 #
กราฟ {(x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y) (x + y + 1) (12x-12y-13) = 0 -11.42, 8.58, -2.48, 7.52}
