อนุพันธ์สำคัญบางส่วนมีความสำคัญอย่างไร? ยกตัวอย่างและช่วยให้ฉันเข้าใจโดยย่อ

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

ฉันหวังว่ามันจะช่วย

อนุพันธ์บางส่วนนั้นมีความเกี่ยวข้องกับความแปรปรวนทั้งหมด

สมมติว่าเรามีฟังก์ชั่น # f (x, y) # และเราต้องการทราบว่ามันแตกต่างกันมากเมื่อเราแนะนำการเพิ่มขึ้นของแต่ละตัวแปร

แก้ไขความคิดการทำ #f (x, y) = k x y # เราต้องการทราบว่ามันคืออะไร

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

ในตัวอย่างฟังก์ชั่นของเราเรามี

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

แล้ว

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

เลือก #dx, dy # เล็กโดยพลการแล้ว #dx dy ประมาณ 0 # แล้ว

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

แต่โดยทั่วไป

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

ตอนนี้ทำ #dx, dy # เรามีขนาดเล็กโดยพลการ

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

เพื่อให้เราสามารถคำนวณความแปรปรวนรวมของฟังก์ชันที่กำหนดได้โดยการคำนวณอนุพันธ์บางส่วน #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # และการประนอม

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

ที่นี่ปริมาณ #f_ (x_i) # เรียกว่าอนุพันธ์บางส่วนและสามารถแทนได้เช่นกัน

# (บางส่วน f) / (บางส่วน x_i) #

ในตัวอย่างของเรา

#f_x = (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = k x # และ

#f_y = (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = k y #

บันทึก

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ (dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + DX, y DY +) -f (x, y)) / DX #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

เพื่อเสริมคำตอบของ Cesareo ด้านบนฉันจะให้คำจำกัดความเบื้องต้นทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดน้อยกว่า

อนุพันธ์บางส่วนพูดอย่างหลวม ๆ บอกเราว่าฟังก์ชั่นหลายตัวแปรจะเปลี่ยนไปมากแค่ไหน เมื่อถือตัวแปรอื่น ๆ คงที่. ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเราได้รับ

#U (A, t) = a ^ 2t #

ที่ไหน #ยู# เป็นฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ (ความสุข) ของผลิตภัณฑ์เฉพาะ # A # คือปริมาณของผลิตภัณฑ์และ # เสื้อ # คือเวลาที่ใช้สำหรับผลิตภัณฑ์

สมมติว่า บริษัท ที่ผลิตสินค้าต้องการทราบว่าพวกเขาจะได้ประโยชน์จากยูทิลิตี้มากแค่ไหนหากพวกเขาเพิ่มอายุการใช้งานของผลิตภัณฑ์ 1 หน่วย อนุพันธ์บางส่วนจะบอกให้ บริษัท ทราบถึงค่านี้

โดยทั่วไปอนุพันธ์ย่อยบางส่วนจะใช้สัญลักษณ์เดลตาอักษรกรีกตัวพิมพ์เล็ก (# # บางส่วน) แต่มีข้อสังเกตอื่น ๆ เราจะใช้ # # บางส่วน สำหรับตอนนี้.

หากเราพยายามค้นหาว่ายูทิลิตี้ของผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาเพิ่มขึ้น 1 หน่วยเรากำลังคำนวณอนุพันธ์ย่อยของยูทิลิตี้ตามเวลา:

# (partialU) / (partialt) #

เพื่อคำนวณ PD เราเก็บตัวแปรอื่น ๆ คงที่. ในกรณีนี้เราปฏิบัติต่อ รุ่น A ^ 2 #ตัวแปรอื่น ๆ ราวกับว่ามันเป็นตัวเลข เรียกคืนจากแคลคูลัสเบื้องต้นว่าการอนุพันธ์ของค่าคงที่คูณตัวแปรเป็นเพียงค่าคงที่ มันเป็นความคิดเดียวกันที่นี่: อนุพันธ์ (บางส่วน) ของ รุ่น A ^ 2 #ค่าคงที่คูณ # เสื้อ #ตัวแปรเป็นเพียงค่าคงที่:

# (partialU) / (partialt) = a ^ 2 #

ดังนั้นการเพิ่มขึ้น 1 หน่วยในเวลาที่ผลิตภัณฑ์ถูกนำมาใช้ผลิต รุ่น A ^ 2 # ยูทิลิตี้มากขึ้น กล่าวอีกนัยหนึ่งผลิตภัณฑ์จะกลายเป็นที่น่าพอใจมากขึ้นหากสามารถใช้งานได้บ่อยขึ้น

มีอะไรอีกมากมายที่จะพูดเกี่ยวกับอนุพันธ์บางส่วน - อันที่จริงหลักสูตรปริญญาตรีและบัณฑิตศึกษาทั้งหมดสามารถอุทิศให้กับการแก้สมการเพียงไม่กี่ประเภทที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ย่อย - แต่แนวคิดพื้นฐานคืออนุพันธ์ย่อยบอกเราว่าเท่าไหร่ การเปลี่ยนแปลงตัวแปรเมื่อคนอื่น ๆ ยังคงเหมือนเดิม