แสดงว่า 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) สำหรับ n> 1?

ตอบ:

ด้านล่าง

คำอธิบาย:

เพื่อแสดงว่าความไม่เท่าเทียมนั้นเป็นจริงคุณใช้การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # สำหรับ #n> 1 #

ขั้นตอนที่ 1: พิสูจน์ความจริง # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

ตั้งแต่ # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #จากนั้น #LHS> RHS #. ดังนั้นจึงเป็นเรื่องจริงสำหรับ # n = 2 #

ขั้นตอนที่ 2: ถือว่าเป็นจริงสำหรับ # n = k # โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มและ #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

ขั้นตอนที่ 3: เมื่อไหร่ # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

กล่าวคือ # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # จาก (1) โดยสมมติฐาน

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

ตั้งแต่ #K> 1 #จากนั้น # -1 / sqrt (k + 1) <0 # และตั้งแต่ # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #จากนั้น # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # ดังนั้น # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

ขั้นตอนที่ 4: โดยการพิสูจน์การอุปนัยทางคณิตศาสตร์ความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด # n # มากกว่า #1#

ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวเป็นเท็จ

เช่นสำหรับ #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (ประมาณ 2.3) ยกเลิก (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (ประมาณ 2.8) #

ความขัดแย้ง