สมมติว่า X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องซึ่งฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมอบให้โดย: f (x) = k (2x - x ^ 2) สำหรับ 0 <x <2; 0 สำหรับ x อื่น ๆ ทั้งหมด k, P (X> 1), E (X) และ Var (X) คืออะไร?

ตอบ:

# k = 4/3 #

#P (x> 1) = 2/1 #

#E (X) = 1 #

#V (X) = 5/1 #

คำอธิบาย:

การค้นหา # k #, เราใช้ # int_0 ^ 2f (x) DX = ^ int_0 2k (2x-x ^ 2) DX = 1 #

#:. k 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 2 = 1 #

#K (4-8 / 3) = 1 # #=>## 4 / 3k = 1 ##=>## k = 4/3 #

คำนวณ #P (x> 1) #, เราใช้ #P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) #

# = 1 int_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 2x ^ 2 / 2x ^ 3/3 _0 ^ 1 #

#=1-3/4(1-1/3)=1-1/2=1/2#

คำนวณ #E (X) #

#E (X) = ^ int_0 2xf (x) DX = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2x ^ 3) DX #

# = 3/4 2x ^ 3/3 x ^ 4/4 _0 ^ = 2 4/3 (16 / 3-16 / 4) = 3/4 * 16/12 = 1 #

คำนวณ #V (X) #

#V (X) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = E (X ^ 2) -1 #

#E (x ^ 2) = int_0 ^ ^ 2x 2f (x) DX = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 3 ^ x 4) DX #

# = 4/3 2x ^ 04/04-x ^ 5/5 _0 ^ 2 = 3/4 (8-32 / 5) = 6/5 #

#:. V (X) = 6 / 5-1 = 1/5 #