ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง: a) หา f (4) ถ้า _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πxสำหรับ x ทั้งหมด b) ค้นหา f (4) ถ้า _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πxสำหรับ x ทั้งหมด?

ตอบ:

ก) # f (4) = pi / 2 #; ข) # f (4) = 0 #

คำอธิบาย:

ก) แยกความแตกต่างทั้งสองด้าน

ผ่านทฤษฎีบทมูลฐานขั้นที่สองของแคลคูลัสทางด้านซ้ายและกฎผลิตภัณฑ์และลูกโซ่ทางด้านขวาเราจะเห็นว่าความแตกต่างเผยให้เห็นว่า:

# f (x ^ 2) * 2x = sin (Pix) + pixcos (Pix) #

ปล่อยให้ # x = 2 # แสดงให้เห็นว่า

# f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) #

# f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

# f (4) = pi / 2 #

ข) รวมคำศัพท์ภายใน

# int_0 ^ f (x) T ^ = 2DT xsin (Pix) #

# t ^ 3/3 _0 ^ f (x) = xsin (Pix) #

ประเมินผล

# (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (Pix) #

# (f (x)) ^ 3/3 = xsin (Pix) #

# (f (x)) ^ 3 = 3xsin (Pix) #

ปล่อย # x = 4 #.

# (f (4)) ^ 3 = 3 (4) บาป (4pi) #

# (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

# f (4) = 0 #