คำถาม # e8ab5

ตอบ:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + B ^ 2) / 2-1 #

คำอธิบาย:

ก่อนจำอะไร #cos (x + y) # คือ:

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

โปรดทราบว่า:

# (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> บาป ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

และ:

# (cosx + บรรยากาศสบาย ๆ) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

ตอนนี้เรามีสมการสองข้อนี้:

# บาป ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

# cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

หากเราเพิ่มเข้าด้วยกันเรามี:

# บาป ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + B ^ 2 #

อย่าปล่อยให้ขนาดของสมการนี้ทิ้งคุณไป ค้นหาตัวตนและการทำให้เข้าใจง่าย:

# (บาป ^ 2x + cos ^ 2x) + (+ 2sinxsiny 2cosxcosy) + (cos ^ 2y + sin ^ 2y) = a ^ 2 + B ^ 2 #

ตั้งแต่ # บาป ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (พีทาโกรัสตัวตน) และ # cos ^ 2y + sin ^ 2y = 1 # (อัตลักษณ์ของพีทาโกรัส) เราสามารถทำให้สมการง่ายขึ้นเพื่อ:

# 1 + (+ 2sinxsiny 2cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + B ^ 2 #

# -> (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + B ^ 2 #

เราสามารถแยกแยะ a #2# ครั้งที่สอง:

# 2 (sinxsiny + cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + B ^ 2 #

# -> 2 ((sinxsiny + cosxcosy) +1) = a ^ 2 + B ^ 2 #

และหาร:

# (sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + B ^ 2) / 2 #

และลบ:

# sinxsiny + cosxcosy = (a ^ 2 + B ^ 2) / 2-1 #

ในที่สุดตั้งแต่ #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, เรามี:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + B ^ 2) / 2-1 #

ป.ร. ให้ไว้

# sinx + siny = a ……. (1) #

# cosx + บรรยากาศสบาย ๆ = b ……. (2) #

การยกกำลังสองและการเพิ่ม (1) & (2)

# (cosx + cozy) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + B ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + B ^ 2-2 …. (3) #

การชดเชยและลบ (1) จาก (2)

# (cosx + cozy) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-บาป ^ 2x + cos ^ 2y บาป ^ 2y = b ^ 2-A ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + + cos2x cos2y = b ^ 2-A ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-A ^ 2 #

# => cos (x + y) (2 + 2cos (x-y)) = b ^ 2-A ^ 2 #

(# "จาก (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# => cos (x + y) (2 + B ^ 2 + a ^ 2-2) = b ^ 2-A ^ 2 #

# => cos (x + y) (ข ^ 2 + a ^ 2) = b ^ 2-A ^ 2 #

# => cos (x + y) = (ข ^ 2-A ^ 2) / (ข ^ 2 + a ^ 2) #

ตอบ:

#cos (x + y) = (ข ^ 2-A ^ 2) / (ข ^ 2 + a ^ 2) #.

คำอธิบาย:

# sinx + siny = a rArr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1) #.

# cosx + cosy = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2) #.

หาร #(1)# โดย #(2)#, เรามี, #tan ((x + y) / 2) = A / B #.

ตอนนี้ #cos (x + y) = {1 สีน้ำตาล ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + น้ำตาล ^ 2 ((x + y) / 2)} #

# = (1-A ^ 2 / b ^ 2) / (1 + A ^ 2 / b ^ 2) = (ข ^ 2-A ^ 2) / (ข ^ 2 + a ^ 2) #.

สนุกกับคณิตศาสตร์!