แก้ขวาน ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

ตอบ:

ร่างย่อ …

คำอธิบาย:

ได้รับ:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # กับ #a! = 0 #

สิ่งนี้ยุ่งเหยิงอย่างรวดเร็วดังนั้นฉันจะให้ภาพร่างของวิธีการหนึ่ง …

ทวีคูณโดย # 256a ^ 3 # และทดแทน #t = (4ax + b) # เพื่อรับควอร์ติค monic หดหู่ของแบบฟอร์ม:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

โปรดทราบว่าเนื่องจากสิ่งนี้ไม่มีข้อกำหนดใน # T ^ 3 #จะต้องคำนึงถึงปัจจัยในรูปแบบ:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + ที่ + C) #

#color (white) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันและจัดเรียงเล็กน้อยเรามี:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

ดังนั้นเราจึงพบ:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (white) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (white) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

คูณออกคูณด้วย รุ่น A ^ 2 # และจัดเรียงใหม่เล็กน้อยสิ่งนี้จะกลายเป็น:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

ลูกบาศก์ลูกบาศก์นี้ รุ่น A ^ 2 #"มีรากแท้อย่างน้อยหนึ่งรากโดยหลักการแล้วมันมีรากแท้ที่เป็นบวกซึ่งให้ค่าจริงที่เป็นไปได้สองค่า # A #. ไม่ว่ารากของลูกบาศก์จะเป็นเช่นไร

รับค่าของ # A #, เรามี:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

ดังนั้นเราจะได้รับสองกำลังสองเพื่อแก้