น้ำที่รั่วไหลลงสู่พื้นเป็นสระน้ำกลม รัศมีของพูลเพิ่มขึ้นในอัตรา 4 ซม. / นาที พื้นที่ของสระว่ายน้ำเพิ่มขึ้นเร็วแค่ไหนเมื่อรัศมีอยู่ที่ 5 ซม.

ตอบ:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ นาที" #

คำอธิบาย:

อันดับแรกเราควรเริ่มต้นด้วยสมการที่เรารู้เกี่ยวกับพื้นที่ของวงกลมสระและรัศมีของมัน:

# A = pir ^ 2 #

อย่างไรก็ตามเราต้องการดูว่าพื้นที่ของสระว่ายน้ำเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วซึ่งฟังดูเหมือนอัตรามาก … ซึ่งฟังดูเหมือนตราสารอนุพันธ์

ถ้าเราหาอนุพันธ์ของ # A = pir ^ 2 # ด้วยความเคารพต่อเวลา # เสื้อ #เราจะเห็นว่า:

# (dA) / dt = pi * * 2r (DR) / dt #

(อย่าลืมว่ากฎลูกโซ่มีผลกับด้านขวาด้วย # R ^ 2 #- นี่คล้ายกับความแตกต่างโดยนัย)

ดังนั้นเราต้องการตรวจสอบ # (dA) / dt #. คำถามบอกเราว่า # (DR) / dt = 4 # เมื่อมันพูดว่า "รัศมีของพูลเพิ่มขึ้นในอัตรา #4# เซนติเมตร / นาที "และเราก็รู้ว่าเราต้องการหา # (dA) / dt # เมื่อ # r = 5 #. เสียบค่าเหล่านี้เราจะเห็นว่า:

# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

ในการใส่คำนี้เราพูดว่า:

พื้นที่ของสระว่ายน้ำเพิ่มขึ้นในอัตรา # bb40pi # ซม.# "" ^ BB2 #/ นาทีเมื่อรัศมีของวงกลมเท่ากับ # BB5 # ซม..