คุณจะพบการขยายตัวแบบทวินามสำหรับ (2x + 3) ^ 3 ได้อย่างไร

ตอบ:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

คำอธิบาย:

ด้วยรูปสามเหลี่ยมของ Pascal ทำให้สามารถหาการขยายแบบทวินามทุกเรื่องได้ง่าย:

แต่ละเทอมของสามเหลี่ยมนี้เป็นผลมาจากผลรวมของสองเทอมบนบรรทัดบนสุด (ตัวอย่างเป็นสีแดง)

#1#

#1. 1#

#color (สีน้ำเงิน) (1. 2. 1) #

# 1 สี (แดง) 3. สี (สีแดง) 3 1 #

# 1 4. สี (แดง) 6. 4. 1 #

…

ยิ่งกว่านั้นแต่ละบรรทัดมีข้อมูลของการขยายทวินามหนึ่งรายการ:

บรรทัดแรกสำหรับกำลัง #0#

อันดับที่ 2 สำหรับพลัง #1#

อันดับที่ 3 สำหรับพลัง #2#…

ตัวอย่างเช่น: # (A + B) ^ 2 # เราจะใช้บรรทัดที่ 3 เป็นสีน้ำเงินตามการขยายตัวนี้:

# (a + b) ^ 2 = สี (สีน้ำเงิน) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + สี (สีน้ำเงิน) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + สี (สีน้ำเงิน) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

จากนั้น: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

เพื่อพลัง #3#:

# (a + b) ^ 3 = สี (สีเขียว) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + สี (สีเขียว) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + สี (สีเขียว) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + สี (เขียว) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

แล้วก็ # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

ดังนั้นที่นี่เรามี #COLOR (สีแดง) (ก = 2x) # และ #COLOR (สีฟ้า) (ข = 3) #:

และ # (2x + 3) ^ 3 = สี (สีแดง) ((2x)) ^ 3 + 3 * สี (สีแดง) ((2x)) ^ 2 * สี (สีฟ้า) 3 + 3 * สี (สีแดง) (2x)) * color (blue) 3 ^ 2 + color (blue) 3 ^ 3 #

ดังนั้น: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

ตอบ:

# (2x + 3) ^ 3 ^ = 8x 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

คำอธิบาย:

# (2x + 3) ^ 3 #

ใช้คิวบ์ของวิธีผลรวมซึ่ง # (A + B) ^ 3 = a ^ 3 ^ + 3a 2b + 3AB ^ 2 + B ^ 3 #.

# A = 2x; # # B = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 * 2x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * * * * * 2x 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #