คุณจะค้นหา antiderivative ของ (e ^ x) / (1 + e ^ (2x)) ได้อย่างไร

ตอบ:

#arctan (e ^ x) + C #

คำอธิบาย:

# "เขียน" e ^ x "dx เป็น" d (e ^ x) "จากนั้นเราจะได้รับ" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "ด้วยการแทนที่ y =" e ^ x "เราได้รับ" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "ซึ่งเท่ากับ" #

#arctan (y) + C #

# "แทนที่ตอนนี้" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

ตอบ:

#inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

คำอธิบาย:

เราต้องการค้นหา # inte ^ x / (1 + E ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (จ ^ x) ^ 2) จ ^ x "D" x #

ตอนนี้ขอ # U = E ^ x # ทั้งสองข้างก็ให้ # du = ^ อี xdx #. ตอนนี้เราแทนที่สมการทั้งสองนี้เป็นอินทิกรัลเพื่อให้ได้

# int1 / (1 + U ^ 2) "D" U #

นี่คืออินทิกรัลมาตรฐานที่ประเมินค่า # arctanu #. แทนกลับมา # x # เราได้รับคำตอบสุดท้าย:

#arctan e ^ x + "c" #

ตอบ:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นเราปล่อยให้ # U = 1 + E ^ (2x) #. เพื่อบูรณาการด้วยความเคารพ #ยู#เราหารด้วยอนุพันธ์ของ #ยู#, ซึ่งเป็น # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

เพื่อบูรณาการด้วยความเคารพ #ยู#เราต้องการทุกสิ่งที่แสดงออกมาในแง่ของ #ยู#ดังนั้นเราต้องแก้ปัญหาเพื่ออะไร # อี ^ x # เป็นในแง่ของ #ยู#:

# U = 1 + E ^ (2x) #

# อี ^ (2x) = U-1 #

# 2x = LN (U-1) #

# x = 1 / 2ln (U-1) #

# x = LN ((U-1) ^ (1/2)) = LN (sqrt (U-1)) #

# อี ^ x = E ^ (LN (sqrt (U-1))) = sqrt (U-1) #

ตอนนี้เราสามารถเสียบกลับเข้าไปที่อินทิกรัล:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

ต่อไปเราจะแนะนำการทดแทนด้วย # Z = sqrt (U-1) #. อนุพันธ์คือ:

# (DZ) / (du) = 1 / (2sqrt (U-1) #

ดังนั้นเราจึงแบ่งมันเพื่อบูรณาการด้วยความเคารพ # Z # (จำไว้ว่าการหารนั้นเหมือนกับการคูณด้วยส่วนกลับ):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

ตอนนี้เรามีตัวแปรที่ไม่ถูกต้องอีกครั้งดังนั้นเราจำเป็นต้องแก้ไขเพื่ออะไร #ยู# เท่ากับในแง่ของ # Z #:

# Z = sqrt (U-1) #

# U-1 = Z ^ 2 #

# U = Z ^ 2 + 1 #

สิ่งนี้ให้:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

นี่คืออนุพันธ์สามัญของ # สีน้ำตาล ^ -1 (z) #ดังนั้นเราจึงได้รับ:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

การยกเลิกการแทนที่ทั้งหมดเราจะได้รับ:

# สีน้ำตาล ^ -1 (z) + C = สีน้ำตาล ^ -1 (sqrt (U-1)) + C = #

# = สีน้ำตาล ^ -1 (sqrt (1 + E ^ (2x) -1)) + C = สีน้ำตาล ^ -1 ((E ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = สีน้ำตาล ^ -1 (จ ^ x) + C #