คุณจะค้นหา antiderivative ของ dx / (cos (x) - 1) ได้อย่างไร?

ตอบ:

ทำการคูณคอนจูเกต, ใช้ตรีโกณมิติ, แล้วเสร็จเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ # int1 / (cosx-1) DX = cscx + cotx + C #

คำอธิบาย:

เช่นเดียวกับปัญหาส่วนใหญ่ของประเภทนี้เราจะแก้ปัญหาโดยใช้เคล็ดลับการคูณคอนจูเกต เมื่อใดก็ตามที่คุณมีบางสิ่งบางอย่างหารด้วยบางอย่างบวก / ลบบางสิ่ง (เช่นใน # 1 / (cosx-1) #) มันเป็นประโยชน์เสมอที่จะลองสังยุคการคูณโดยเฉพาะกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เราจะเริ่มต้นด้วยการคูณ # 1 / (cosx-1) # โดยคอนจูเกตของ # cosx-1 #, ซึ่งเป็น # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

คุณอาจสงสัยว่าทำไมเราถึงทำเช่นนี้ มันคือเพื่อให้เราสามารถใช้ความแตกต่างของคุณสมบัติกำลังสอง # (a-b) (A + B) = a ^ 2-B ^ 2 #ในตัวหารเพื่อทำให้มันง่ายขึ้นเล็กน้อย กลับไปที่ปัญหา:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#COLOR (สีขาว) (III) acolor (สีขาว) (XXX) bcolor (สีขาว) (XXX) acolor (สีขาว) (XXX) ข #

สังเกตว่านี่เป็นสิ่งสำคัญ # (a-b) (A + B) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

ตอนนี้เกี่ยวกับ # cos ^ 2x-1 #? พวกเรารู้ # บาป ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. ลองคูณด้วย #-1# และดูสิ่งที่เราได้รับ:

# -1 (บาป ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - บาป ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

ปรากฎว่า # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #ดังนั้นเรามาแทนที่ # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- บาป ^ 2x #

สิ่งนี้เทียบเท่า # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #ซึ่งใช้ตรีโกณมิติมาก ๆ # -cotxcscx-CSC ^ 2x #.

ณ จุดนี้เราได้ทำให้อินทิกรัลเป็นเรื่องง่าย # int1 / (cosx-1) DX # ไปยัง # int-cotxcscx-CSC ^ 2xdx #. เมื่อใช้กฎผลรวมสิ่งนี้จะกลายเป็น:

# int-cotxcscxdx + int-CSC ^ 2xdx #

ครั้งแรกของเหล่านี้คือ # cscx # (เพราะอนุพันธ์ของ # cscx # คือ # -cotxcscx #) และที่สองคือ # cotx # (เพราะอนุพันธ์ของ # cotx # คือ # -csc ^ 2x #) เพิ่มค่าคงที่ของการรวมกลุ่ม # C # และคุณมีทางออกของคุณ:

# int1 / (cosx-1) DX = cscx + cotx + C #