สแควร์รูทของ sqrt คืออะไร ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

ตอบ:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-Y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (Z ^ 2-x ^ 2)) #

ให้ไว้อย่างน้อยสองข้อต่อไปนี้:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

คำอธิบาย:

โปรดทราบว่า:

# (x ^ 2-Y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (Z ^ 2-x ^ 2) #

# = สี (สีแดง) (ยกเลิก (สี (สีดำ) (x ^ 2))) - สี (สีแดง) (ยกเลิก (สี (สีดำ) (x ^ 2))) + สี (สีม่วง) (ยกเลิก (สี (สีดำ)) (y ^ 2))) - สี (สีม่วง) (ยกเลิก (สี (สีดำ) (y ^ 2))) + (สีม่วง) (ยกเลิก (สี (สีดำ) (Z ^ 2))) - สี (สีม่วง) (ยกเลิก (สี (ดำ)) (z ^ 2))) = 0 #

ดังนั้นให้เราดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเรายกกำลังสอง:

#sqrt (x ^ 2-Y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (Z ^ 2-x ^ 2) #

เนื่องจากข้อกำหนดกำลังสองจะยกเลิก …

# (sqrt (x ^ 2-Y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (Z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (sqrt (x ^ 2-Y ^ 2)) ^ 2 + (sqrt (y ^ 2-z ^ 2)) ^ 2 + (sqrt (Z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((Y ^ 2-z ^ 2) (Z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((Z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-Y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-Y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = สี (สีแดง) (ยกเลิก (สี (สีดำ) ((x ^ 2-Y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (Z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((Y ^ 2-z ^ 2) (Z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((Z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-Y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-Y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (Z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((Z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-Y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-Y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #

ดังนั้นสแควร์รูทที่เราต้องการคือ:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-Y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (Z ^ 2-x ^ 2)) #

#COLOR (สีขาว) () #

หมายเหตุ

คำตอบข้างต้นถือว่ามากหรือน้อยนั้น:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

ในขณะนี้จะถือถ้าอย่างน้อยหนึ่งใน #a, b # ไม่ใช่ค่าลบมันจะล้มเหลวหากทั้งคู่เป็นลบ

สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ในกรณีที่มาจากตัวอย่างข้างต้น:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

จากนั้นเราจะพบ:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… เครื่องหมายตรงข้ามกับสิ่งที่เราต้องการ