อนุพันธ์ของ f (x) = csc ^ -1 (x) คืออะไร?

อนุพันธ์ของ f (x) = csc ^ -1 (x) คืออะไร?
Anonim

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

กระบวนการ:

1.) #y = "arccsc" (x) #

ก่อนอื่นเราจะเขียนสมการใหม่ในรูปแบบที่ใช้งานได้ง่ายขึ้น

จดจ่อที่ทั้งสองฝ่าย:

2.) #csc y = x #

เขียนซ้ำในแง่ของไซน์:

3.) # 1 / siny = x #

แก้หา # Y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

ตอนนี้การหาอนุพันธ์ควรง่ายกว่า ตอนนี้มันเป็นเพียงเรื่องของกฎลูกโซ่

เรารู้ว่า # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (มีหลักฐานยืนยันตัวตนนี้อยู่ที่นี่)

ดังนั้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกแล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของ # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

อนุพันธ์ของ # 1 / x # เหมือนกับอนุพันธ์ของ # x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

ลดความซับซ้อน 8. ให้เรา:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

ในการทำให้คำสั่งสวยขึ้นเล็กน้อยเราสามารถนำกำลังสองของ # x ^ 2 # ภายในรากฐานแม้ว่าสิ่งนี้ไม่จำเป็น:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

ลดความซับซ้อนของอัตราผลตอบแทน:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

และมีคำตอบของเรา โปรดจำไว้ว่าปัญหาเกี่ยวกับอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นตรีโกณฯ แบบผกผันนั้นส่วนใหญ่จะเป็นการฝึกความรู้เกี่ยวกับอัตลักษณ์ของตรีโกณฯ ใช้ฟังก์ชันนี้เพื่อแยกฟังก์ชั่นออกเป็นรูปแบบที่สามารถแยกความแตกต่างได้ง่าย