รูปสามเหลี่ยมมีจุดยอด A (a, b), C (c, d) และ O (0, 0) สมการและพื้นที่ของวงกลมที่ จำกัด วงกลมคืออะไร?

ตอบ:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # ที่ไหน

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

คำอธิบาย:

ฉันวางคำถามทั่วไป เรามาดูกันว่ามันจะไปอย่างไร ฉันปล่อยจุดยอดหนึ่งจุดที่จุดกำเนิดซึ่งทำให้มันยุ่งน้อยลงเล็กน้อยและสามเหลี่ยมที่สุ่มได้นั้นแปลได้ง่าย

แน่นอนว่าสามเหลี่ยมเป็นสิ่งที่ไม่จำเป็นอย่างสมบูรณ์สำหรับปัญหานี้ วงกลมที่ถูก จำกัด คือวงกลมผ่านจุดสามจุดซึ่งเกิดขึ้นเป็นจุดยอดทั้งสาม สามเหลี่ยมทำให้เกิดลักษณะที่ประหลาดใจในการแก้ปัญหา

คำศัพท์บางคำ: วงกลมที่ถูก จำกัด เรียกว่าสามเหลี่ยม circumcircle และกึ่งกลางของสามเหลี่ยมนั้น วงล้อม.

สมการทั่วไปสำหรับวงกลมที่มีศูนย์กลาง # (P, Q) # และรัศมีกำลังสอง # s # คือ

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

และพื้นที่ของวงกลมคือ #A = pi s. #

เรามีสามสิ่งที่ไม่รู้จัก # P, Q, S # และเรารู้สามจุดดังนั้นเราจึงได้สมการสาม:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # เพราะต้นกำเนิดอยู่บนวงกลม

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

ลองแก้สมการพร้อมกัน ลองเปลี่ยนพวกมันเป็นสมการเชิงเส้นสองอันโดยการขยายและการลบคู่ซึ่งจะทำให้สูญเสีย # P ^ 2 + Q ^ 2 # ด้านซ้ายและ # s # ทางขวา.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

ลบ, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

ในทำนองเดียวกัน

# 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

นั่นคือสมการสองอันในสองนิรนาม # AX = K # มีทางออก # X = A ^ {- 1} K. # ฉันจำเมทริกซ์ผกผันสองคูณสองซึ่งฉันไม่รู้วิธีจัดรูปแบบ

#A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

สำหรับเรานั่นหมายถึง

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

และรัศมีกำลังสองของ

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

ดังนั้นพื้นที่ของ # # ปี่ คูณด้วยจำนวนนั้น

เราสามารถเห็นว่านิพจน์นั้นมีความสมมาตรมากกว่านี้หากเราพิจารณาว่าเกิดอะไรขึ้นกับสามเหลี่ยมใด ๆ # (A, B), (C, D), (E, F). # เราตั้ง # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # แต่ฉันจะไม่ทำงานตอนนี้

ฉันจะสังเกตตัวเศษของ # s # เป็นผลคูณของความยาวสามกำลังสองของด้านสามเหลี่ยมและตัวส่วนของ # s # คือสิบหกคูณพื้นที่กำลังสองของสามเหลี่ยม

ใน Rational Trigonometry Squared Length เรียกว่า quadrances และสิบหกคูณพื้นที่กำลังสองเรียกว่า quadrea เราพบรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของรัศมีของวงกลมรอบเป็นผลคูณของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปสามเหลี่ยมหารด้วยสี่เหลี่ยมจตุรัส

หากเราต้องการรัศมีหรือพื้นที่วงกลมรอบเราสามารถสรุปผลลัพธ์ได้ที่นี่ดังนี้:

รัศมีกำลังสองของวงกลมนั้นคือผลคูณของความยาวกำลังสองของสามเหลี่ยมหารด้วยสิบหกเท่าของพื้นที่กำลังสองของสามเหลี่ยม

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #