พิสูจน์: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

เพื่อพิสูจน์ # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

ปล่อย # cos ^ -1x = theta #

# => x = costheta #

ตอนนี้ # LHS = 3theta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

แสดง

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

บางครั้งตรีโกณมิติก็น้อยลงเกี่ยวกับการทำคณิตศาสตร์และการจดจำคณิตศาสตร์มากกว่าเมื่อเราเห็น ที่นี่เรารู้จัก # 4x ^ 3 -3x # สูตรโคไซน์สามมุม # cos (3 theta) # เมื่อ # x = cos theta #.

factoid: # 4x ^ 3-3x # เรียกอีกอย่างว่า # T_3 (x) #พหุนาม Chebyshev ที่สามของชนิดแรก โดยทั่วไปแล้ว # cos (nx) = T_n (cos x). #

เราจะถือว่า # ARccOS # หมายถึงค่าเงินต้น ฉันชอบโทรหาอาจารย์ใหญ่ #text {} Arc ข้อความ {} # cos แต่มันยากที่จะพิมพ์

พื้นหลังเพียงพอ เมื่อเราได้รับการยอมรับสูตรสามมุมพิสูจน์ได้ง่าย

พิสูจน์:

ปล่อย #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #

พิสูจน์ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

ในคำอธิบายบนระนาบพิกัดปกติเรามีพิกัดเช่น (1,2) และ (3,4) และอะไรทำนองนั้น เราสามารถแสดงพิกัดของรัศมีและมุมเหล่านี้ได้อีกครั้งดังนั้นถ้าเรามีจุด (a, b) นั่นหมายความว่าเราไปหน่วยทางขวา, b หน่วยขึ้นและ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) เป็นระยะทางระหว่างจุดกำเนิดและจุด (a, b) ฉันจะเรียก sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r ดังนั้นเราจึงได้ ^ arctan (b / a) ทีนี้เพื่อให้การพิสูจน์นี้เสร็จสิ้น e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) ฟังก์ชั่นของ arc tan ให้มุมกับฉันซึ่งก็คือ theta ด้วย ดังนั้นเราจึงมีสมการต่อไปนี้: e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) ตอนนี้ลองวาดสามเหลี่ยมมุมฉาก arctan ของ (b / a) บอกฉันว่า b คือด้านต

พิสูจน์: - sin (7 theta) + sin (5 theta) / sin (7 theta) -sin (5 theta) =?

(sin7x + sin5x) / (sin7x-sin5x) = tan6x * cotx rarr (sin7x + sin5x) / (sin7x-sin5x) = (2sin (7x + 5x) / 2) * cos (7x-5x) / 2) ) / (2sin ((7x-5x) / 2) * cos ((7x + 5x) / 2) = (sin6x * cosx) / (sinx * cos6x) = (tan6x) / tanx = tan6x * cottx

พิสูจน์ / ยืนยันตัวตน: (cos (-t)) / (sec (-t) + tan (-t)) = 1 + sint?

ดูด้านล่าง จำได้ว่า cos (-t) = cost, sec (-t) = sect, เนื่องจาก cosine และ secant เป็นฟังก์ชันคู่ tan (-t) = - tant เนื่องจาก tangent เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นเราจึงมีค่าใช้จ่าย / (ส่วน - tant) = 1 + sint เรียกคืนว่า tant = sint / ค่าใช้จ่ายส่วน = 1 / ราคาต้นทุน / (1 / cost-sint / ค่าใช้จ่าย) = 1 + sint ลบในส่วน cost / ((1-sint) / cost) = 1 + sint cost * cost / (1-sint) = 1 + sint cos ^ 2t / (1-sint) = 1 + sint เรียกคืนบาปตัวตน ^ 2t + cos ^ 2t = 1 ตัวตนนี้ยังบอกเราว่า cos ^ 2t = 1-sin ^ 2t ใช้ตัวตน (1-sin ^ 2t) / (1-sint) = 1 + sint โดยใช้ความแตกต่างของกำลังสอง (1-sin ^ 2t) = (1 + sint) (1-sint) ((1 + sint) ยกเลิก (1-sint))