เมื่อไหร่ที่คุณใช้สูตรของเฮรอนเพื่อค้นหาพื้นที่

คุณสามารถใช้มันเมื่อใดก็ตามที่คุณรู้ความยาวของทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยม

ฉันหวังว่านี่จะเป็นประโยชน์

ตอบ:

Heron Formula เป็นสูตรที่ผิดที่จะใช้เสมอ ลองใช้ทฤษฎีบทของอาร์คิมีดีสเพื่อหาพื้นที่สามเหลี่ยม # A # และด้านข้าง # A, B, C #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # ที่ไหน # s = 2/1 (A + B + C) #

นี่เป็นนกกระสาที่คลุมหน้า

คำอธิบาย:

Hero of Alexandria เขียนในโฆษณาศตวรรษแรก ทำไมเรายังคงทรมานนักเรียนด้วยผลลัพธ์ของเขาเมื่อมีสิ่งที่เทียบเท่าสมัยใหม่ที่ดีกว่าฉันไม่มีความคิด

สูตรของนกกระสาสำหรับพื้นที่ # A # ของสามเหลี่ยมที่มีด้านข้าง # A, B, C # คือ

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # ที่ไหน # s = 2/1 (A + B + C) # คือ semiperimeter

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าสูตรนี้ยอดเยี่ยมมาก แต่มันแปลกที่จะใช้เพราะเศษส่วนและถ้าเราเริ่มจากพิกัดสี่รากที่สอง

ลองทำคณิตศาสตร์กันก่อน เรายกกำลังสองและกำจัด # s # ซึ่งส่วนใหญ่ทำหน้าที่ในการซ่อน #16# และการแยกตัวประกอบที่สำคัญ คุณอาจต้องการลองด้วยตัวเองก่อน

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c))) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

นั่นดีกว่ารูปแบบของเฮรอนแล้ว เราบันทึกเศษส่วนไปยังส่วนท้ายและไม่น่าแปลกใจเกี่ยวกับความหมายของเซมิมิเตอร์อีกต่อไป

เคสเสื่อมกำลังบอก เมื่อหนึ่งในปัจจัยเหล่านั้นที่มีเครื่องหมายลบเป็นศูนย์นั่นคือเมื่อทั้งสองฝ่ายรวมกันเป็นอีกด้านหนึ่ง นั่นคือระยะทางระหว่างจุด collinear สามจุดสามเหลี่ยม degenerate และเราได้พื้นที่เป็นศูนย์ มีเหตุผล.

# A + B + C # ปัจจัยที่น่าสนใจ สิ่งที่บอกเราคือสูตรนี้ยังใช้งานได้ถ้าเราใช้การกระจัด, ความยาวที่ได้รับการลงนามแทนที่จะเป็นค่าบวกทั้งหมด

สูตรนี้ยังใช้งานไม่ได้กับพิกัดที่กำหนด ลองคูณมันออกมา คุณอาจต้องการลองด้วยตัวเอง

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

แบบฟอร์มนั้นขึ้นอยู่กับกำลังสองของความยาวเท่านั้น มันสมมาตรอย่างชัดเจน เราไปได้ไกลกว่านกกระสาในตอนนี้และพูดว่า ความยาวยกกำลังสอง มีเหตุผลดังนั้นพื้นที่กำลังสองคือ

แต่เราสามารถทำได้ดีกว่าถ้าเราสังเกต

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

ลบ,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

นั่นเป็นรูปแบบที่สวยที่สุด

มีแบบฟอร์มที่ไม่สมมาตรซึ่งมักจะมีประโยชน์มากที่สุด เราทราบ

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

กำลังเพิ่มสิ่งนี้ลงใน

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

นั่นเป็นรูปแบบที่มีประโยชน์ที่สุด มีสามวิธีในการเขียนโดยสลับข้างกัน

กลุ่มเหล่านี้เรียกว่าทฤษฎีบทของอาร์คิมีดีสจาก Rational Trigonometry ของ NJ Wildberger

เมื่อได้รับพิกัด 2D มักเป็นสูตรเชือกผูกรองเท้าเป็นเส้นทางที่เร็วที่สุดในพื้นที่ แต่ฉันจะบันทึกไว้สำหรับโพสต์อื่น