วิธีการขยายในชุด Maclaurin นี้ f (x) = ^ int_0 xlog (1-T) / TDT

ตอบ:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

ภาพ: ดูกราฟนี้

คำอธิบาย:

เราไม่สามารถประเมินอินทิกรัลนี้อย่างชัดเจนเนื่องจากใช้เทคนิคการรวมปกติที่เราได้เรียนรู้ อย่างไรก็ตามเนื่องจากเป็นอินทิกรัล จำกัด เราจึงสามารถใช้ซีรี่ส์ MacLaurin และทำสิ่งที่เรียกว่าคำศัพท์ด้วยการรวมคำ

เราจะต้องค้นหาซีรี่ส์ MacLaurin เนื่องจากเราไม่ต้องการหาอนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชันนั้นเราจะต้องลองและปรับให้เหมาะกับหนึ่งในซีรี่ส์ MacLaurin ที่เรารู้จัก

ประการแรกเราไม่ชอบ # บันทึก #; เราต้องการที่จะทำให้ # LN #. ในการทำเช่นนี้เราสามารถทำการเปลี่ยนแปลงสูตรพื้นฐานได้ง่ายๆ:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

ดังนั้นเราจึงมี:

# int_0 ^ XLN (1-T) / (TLN (10)) dt #

ทำไมเราทำเช่นนี้? ตอนนี้สังเกตเห็นว่า # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # ทำไมเป็นพิเศษ ดี, # 1 / (1-x) # เป็นหนึ่งในซีรี่ส์ MacLaurin ที่เราใช้กันทั่วไป:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…เพื่อทุกสิ่ง # x # บน #(-1, 1#

ดังนั้นเราสามารถใช้ความสัมพันธ์นี้เพื่อประโยชน์ของเราและแทนที่ #ln (1-t) # กับ # int-1 / (1-t) dt #ซึ่งทำให้เราสามารถแทนที่สิ่งนั้นได้ # LN # คำที่มีชุด MacLaurin การรวมสิ่งนี้เข้าด้วยกันจะช่วยให้:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

การประเมินอินทิกรัล:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

กำลังยกเลิก # เสื้อ # เทอมในส่วน:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

และตอนนี้เรารับอินทิกรัล จำกัด เขตที่เราเริ่มต้นปัญหาด้วย:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

บันทึก: สังเกตว่าตอนนี้เราไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับการหารด้วยศูนย์ในปัญหานี้ซึ่งเป็นปัญหาที่เรามีในการผสานรวมดั้งเดิมเนื่องจาก # เสื้อ # เทอมในตัวส่วน เนื่องจากสิ่งนี้ถูกยกเลิกในขั้นตอนก่อนหน้ามันแสดงให้เห็นว่าความไม่ต่อเนื่องนั้นสามารถถอดออกได้ซึ่งทำงานได้ดีสำหรับเรา

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # ประเมินจาก #0# ไปยัง # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณรู้ว่าชุดนี้ดีในช่วงเวลาเท่านั้น #(1, 1#เนื่องจากซีรี่ส์ MacLaurin ที่เราใช้ด้านบนเป็นคอนเวอร์เจนซ์ในช่วงเวลานี้เท่านั้น ลองดูกราฟนี้ที่ฉันทำเพื่อให้ได้แนวคิดที่ดีขึ้น

หวังว่าจะช่วย:)