วิธีที่ดีที่สุดในการค้นหา sqrt (13) โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลขคืออะไร?

ตอบ:

ฉันขอแนะนำวิธีของนิวตัน แต่ฉันไม่ได้เตรียมที่จะอ้างว่าง่ายกว่าเดาและตรวจสอบจากนั้นปรับการเดา

คำอธิบาย:

วิธีการของนิวตันเป็นวิธีการวนซ้ำโดยประมาณ (มันใช้งานได้เพราะแคลคูลัส แต่คำถามนี้โพสต์ในพีชคณิตดังนั้นเราจะปล่อยให้อยู่คนเดียว)

ทำการประมาณแรก ในตัวอย่างของคุณพูด # x_1 = 3 #

การประมาณต่อไปคือ: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

ในคำอื่น ๆ หาร #13# โดยการประมาณและค่าเฉลี่ยปัจจุบันที่มีการประมาณครั้งล่าสุดของคุณ

รู้ดี # x_n #เราพบว่า #x_ (n + 1) # โดย:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

ดังนั้นเราจึงได้รับ: # x_1 = 3 #

การค้นหา # x_2 #:

#13/3 = 4.33#

ค่าเฉลี่ยของการประมาณปัจจุบันของเรา #3# และความฉลาดทาง #4.33# คือ #3.67#

ดังนั้น # x_2 = 3.67 #

การค้นหา # x_3 #:

#13/3.67 = 3.54#

ค่าเฉลี่ยของการประมาณปัจจุบันของเรา #3.67# และความฉลาดทาง #3.54# คือ #3.61#

ดังนั้น # x_3 = 3.61 #

ใช่มันเคยเป็นเรื่องน่าเบื่อในการคำนวณ

ตอบ:

มีวิธี (อาจจะไม่เป็นที่รู้จักกันดี) สำหรับการค้นหาสแควร์รูทของจำนวนที่ฉันพยายามแสดงด้านล่าง

คำอธิบาย:

เริ่มต้นราวกับว่าคุณกำลังตั้งแผนกยาว (แต่สังเกตว่าไม่มีตัวหาร) ตัวเลขจะถูกแบ่งออกเป็นบล็อก 2 หลักโดยมีศูนย์เป็นจำนวนมากหลังจุดทศนิยมที่คุณต้องการเขียน จุดทศนิยมควรเขียนโดยตรงเหนือจุดทศนิยมของตัวเลขที่คุณพยายามค้นหาสแควร์รูท (ฉันดูเหมือนจะสูญเสียของฉัน)

ตัดสินใจเลือกตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่เกินคู่หลักแรกของค่าที่คุณใช้งานและป้อนตามที่ระบุด้านล่าง

คูณตัวเลขด้านบนบรรทัดด้วยตัวเลขทางด้านซ้ายของเส้นแนวตั้งและลบผลิตภัณฑ์นี้จากค่าที่อยู่ด้านบน

คัดลอกตัวเลขคู่ถัดไปลงเป็นคำต่อท้ายไปยังส่วนที่เหลือก่อนหน้า

เพิ่มค่าเป็นสองเท่าเหนือเส้นและอนุญาตให้มีส่วนต่อท้ายหลัก (ดังนั้นในกรณีนี้ 3 จะกลายเป็นบางสิ่งระหว่าง 60 ถึง 69; ยังไม่ได้กำหนด)

กำหนดตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดซึ่งเมื่อใช้เป็นตัวเลขต่อท้ายทางด้านซ้ายแล้วใช้เพื่อคูณค่าผลลัพธ์ไม่ได้มากกว่าค่าการทำงาน (ในกรณีนี้ไม่เกิน 400)

ทวีคูณลบและลบคู่หลักถัดไป

เพิ่มค่าเป็นสองเท่าจากด้านบนและเขียนด้วยช่องว่างสำหรับตัวเลขต่อท้ายทางด้านซ้ายของพื้นที่ทำงาน

ดำเนินการตามที่ระบุด้านล่าง:

โปรด; หากใครสามารถให้คำอธิบายที่ง่ายขึ้นเกี่ยวกับวิธีการทำงานของกระบวนการนี้โปรดทำเช่นนั้น

ตอบ:

แทนที่จะเขียนความคิดเห็นที่ยาวถึง Jim's ต่อไปนี้เป็นคำตอบ 'อีก'

การค้นหา #sqrt (n) #ย้ำประมาณของคุณโดยใช้:

#a_ (i + 1) = a_i + (n - a_i ^ 2) / (2a_i) #

คำอธิบาย:

ฉันมักจะใช้สิ่งนี้กับเศษส่วน 'ที่ไม่เหมาะสม' เพื่อหาลำดับของการประมาณหยุดเมื่อฉันคิดว่าฉันมีตัวเลขที่สำคัญเพียงพอจากนั้นจึงหารจำนวนเต็มที่เกิดขึ้นเป็นเวลานาน

อีกทางหนึ่งถ้าฉันต้องการเพียงสแควร์รูทถึง 4 หลักอย่างมีนัยสำคัญฉันเริ่มต้นด้วยการประมาณ 2 หลักที่สมเหตุสมผลและดำเนินการหนึ่งหรือสองขั้นตอน

ฉันพยายามที่จะจดจำกำลังสองของ #2# ตัวเลขหลักเช่นกัน ดังนั้นในกรณีของ #13# ฉันควรจำไว้ว่า #36^2 = 1296# ค่อนข้างใกล้กับ #1300#ดังนั้น #36# ทำให้การประมาณที่ดีในการ #sqrt (1300) #.

การประมาณครั้งต่อไปจะเป็น #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

ด้วยเหตุนี้ #sqrt (13) ~ = 3.6056 #