ใช้การทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรกอย่างไรเพื่อกำหนด extrema ท้องถิ่น = y x sin x cos x

ตอบ:

Extrema สำหรับ # การ y = sin (x) cos (x) # เป็น

# x = pi / 4 + NPI / 2 #

กับ # n # จำนวนเต็มสัมพัทธ์

คำอธิบาย:

เป็น # f (x) # ฟังก์ชั่นที่เป็นตัวแทนของการเปลี่ยนแปลงของ # Y # ด้วย repsect ถึง # x #.

เป็น # f (x) # อนุพันธ์ของ # f (x) #.

# f '(ก) # คือความชันของ # f (x) # โค้งที่ # x = a # จุด.

เมื่อความชันเป็นบวกโค้งจะเพิ่มขึ้น

เมื่อความชันเป็นลบเส้นโค้งจะลดลง

เมื่อความชันเป็นโมฆะเส้นโค้งจะยังคงอยู่ที่ค่าเดิม

เมื่อเส้นโค้งมาถึงค่าสุดขีดมันจะหยุดการเพิ่ม / ลดลงและเริ่มลด / เพิ่มขึ้น กล่าวอีกนัยหนึ่งความชันจะเปลี่ยนจากค่าบวกเป็นค่าลบหรือค่าลบไปเป็นค่าบวกผ่านค่าศูนย์

ดังนั้นหากคุณกำลังมองหา extrema ของฟังก์ชันคุณควรมองหาค่า Null ของอนุพันธ์

หมายเหตุกำหนดให้ส่ง มีสถานการณ์เมื่ออนุพันธ์เป็นโมฆะ แต่เส้นโค้งไม่ถึงจุดสุดยอด: มันเรียกว่าจุดผัน เส้นโค้งจะหยุดเพิ่ม / ลดลงชั่วขณะจากนั้นกลับมาเพิ่ม / ลดลงอีกครั้ง ดังนั้นคุณควรตรวจสอบว่าเครื่องหมายของความชันเปลี่ยนไปตามค่า Null หรือไม่

ตัวอย่าง: # f (x) = sin (x) cos (x) y = #

# f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / DX #

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

ตอนนี้เรามีสูตรสำหรับ # f (x) #เราจะหาค่าว่าง:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

การแก้ปัญหาคือ # ปี่ / 4 + NPI / 2 # กับ # n # จำนวนเต็มสัมพัทธ์

ตอบ:

แม้ว่าเราวางแผนที่จะใช้การทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรกมันก็คุ้มค่าที่จะสังเกตว่า #y = 1/2 sin (2x) #.

คำอธิบาย:

เมื่อทำการสังเกตแล้วเราไม่จำเป็นต้องมีแคลคูลัสเพื่อค้นหาเอกซ์เรย์

เราสามารถพึ่งพาความรู้เกี่ยวกับตรีโกณมิติและกราฟของฟังก์ชันไซน์

ค่าสูงสุด (ของ 1/2) จะเกิดขึ้นเมื่อ # 2x = pi / 2 + 2pik # หรือเมื่อ #x = pi / 4 + pik # สำหรับ # k # จำนวนเต็ม

ขั้นต่ำเกิดขึ้นที่ #x = 3pi / 4 + pik # สำหรับ # k # จำนวนเต็ม

เราสามารถใช้อนุพันธ์ได้ แต่เราไม่ต้องการมัน

การใช้อนุพันธ์

ต้องเขียนใหม่ # Y #เราเห็นได้อย่างรวดเร็วว่า #y '= cos (2x) #

ดังนั้นตัวเลขที่สำคัญสำหรับ # Y # เป็น # 2x = pi / 2 + 2pik # และ # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #เมื่อโคไซน์เป็น #0#) หรือ

# x = pi / 4 + pik # และ # x = (3pi) / 4 + pik #

ตรวจสอบสัญลักษณ์ของ #y '= cos (2x) #เราจะหาค่าสูงสุดในชุดหมายเลขวิกฤติชุดแรกและค่าต่ำสุดในชุดที่สอง

แสดงว่าcos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos²6π / 10 + cos²9π / 10 = 2 ฉันสับสนเล็กน้อยถ้าฉันทำCos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10) มันจะเปลี่ยนค่าลบเป็น cos (180 ° -theta) = - costheta ใน ด้านที่สอง ฉันจะไปพิสูจน์คำถามได้อย่างไร

โปรดดูที่ด้านล่าง. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

การทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรกคืออะไรเพื่อตรวจสอบ extrema ท้องถิ่น?

การทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรกสำหรับ Local Extrema ให้ x = c เป็นค่าวิกฤตของ f (x) หาก f '(x) เปลี่ยนเครื่องหมายจาก + เป็น - ประมาณ x = c แสดงว่า f (c) เป็นค่าสูงสุดในพื้นที่ ถ้า f '(x) เปลี่ยนเครื่องหมายจาก - เป็น + ประมาณ x = c ดังนั้น f (c) เป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่น ถ้า f '(x) ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายรอบ x = c ดังนั้น f (c) ไม่ใช่ค่าสูงสุดในท้องถิ่นหรือค่าต่ำสุดในท้องถิ่น

คุณยืนยัน [sin ^ 3 (B) + cos ^ 3 (B)] / [sin (B) + cos (B)] = 1-sin (B) cos (B) ได้อย่างไร

หลักฐานด้านล่างการขยายตัวของ ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) และเราสามารถใช้สิ่งนี้: (sin ^ 3B + cos ^ 3B) / (sinB + cosB) = ((sinB + cosB) (sin ^ 2B-sinBcosB + cos ^ 2B)) / (sinB + cosB) = sin ^ 2B-sinBcosB + cos ^ 2B = sin ^ 2B + cos ^ 2B-sinBcosB (เอกลักษณ์: sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1) = 1-sinBcosB