ใช้หลักการแรกเพื่อแยกความแตกต่าง? การ y = sqrt (sinx)

ตอบ:

ขั้นตอนที่หนึ่งคือการเขียนฟังก์ชั่นเป็นเลขชี้กำลังเชิงเหตุผล #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

คำอธิบาย:

หลังจากที่คุณได้แสดงออกในรูปแบบนั้นคุณสามารถแยกแยะได้โดยใช้กฎลูกโซ่:

ในกรณีของคุณ: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

จากนั้น # 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) # ซึ่งเป็นคำตอบของคุณ

ตอบ:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

คำอธิบาย:

การใช้คำจำกัดความ จำกัด ของอนุพันธ์เรามี:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

ดังนั้นสำหรับฟังก์ชั่นที่กำหนดที่ไหน # f (x) = sqrt (sinx) #, เรามี:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (sqrt (บาป (x + H)) + sqrt (sinx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

จากนั้นเราสามารถใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

ให้เรา:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)))

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

จากนั้นเราใช้ข้อ จำกัด แคลคูลัสมาตรฐานสองข้อ:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #และ #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #และ #

และตอนนี้เราสามารถประเมินขีด จำกัด:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #