เส้นรอบวงของแปดเหลี่ยมปกติด้วยรัศมี 20 ความยาวคืออะไร?

ตอบ:

มันขึ้นอยู่กับ:

หากรัศมีภายในคือ #20#ดังนั้นปริมณฑลคือ:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

หากรัศมีภายนอกอยู่ #20#ดังนั้นปริมณฑลคือ:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

คำอธิบาย:

ที่นี่วงกลมสีแดงล้อมรอบรัศมีด้านนอกและวงกลมสีเขียวด้านใน

ปล่อย # R # เป็นรัศมีรอบนอก - นั่นคือรัศมีของวงกลมสีแดง

จากนั้นจุดยอดของรูปแปดเหลี่ยมตรงกึ่งกลางที่ #(0, 0)# อยู่ที่:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

ความยาวของด้านใดด้านหนึ่งคือระยะห่างระหว่าง # (r, 0) # และ # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((R-R / sqrt (2)) ^ 2 + (R / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

ดังนั้นขอบเขตทั้งหมดคือ:

#color (แดง) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

ดังนั้นถ้ารัศมีวงนอกอยู่ #20#ดังนั้นปริมณฑลคือ:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#COLOR (สีขาว) () #

รัศมีภายในจะเป็น # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

ดังนั้น #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

จากนั้นขอบเขตทั้งหมดคือ

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = สี (สีเขียว) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

ดังนั้นหากรัศมีภายในเป็น #20#ดังนั้นปริมณฑลคือ:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#COLOR (สีขาว) () #

วิธีการประมาณที่ดีสำหรับ # # ปี่ สิ่งนี้ทำให้เรา

ในขณะที่เราอยู่ที่นี่สิ่งที่ประมาณสำหรับ # # ปี่ เราจะหาค่าเฉลี่ยรัศมีภายในและภายนอกได้อย่างไร

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… ไม่ดีเลย

ที่จะได้รับเป็นอย่างดีประมาณ #355/113 ~~ 3.1415929#นักคณิตศาสตร์ชาวจีน Zu Chongzhi ใช้ #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) รูปหลายเหลี่ยมด้านและแท่งนับ

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi