Z คือจำนวนเชิงซ้อน แสดงให้เห็นว่าสมการ z ^ 4 + z + 2 = 0 ไม่สามารถมีรูตซีแบบที่ z <1?

Z คือจำนวนเชิงซ้อน แสดงให้เห็นว่าสมการ z ^ 4 + z + 2 = 0 ไม่สามารถมีรูตซีแบบที่ z <1?
Anonim

# z ^ 4 + z + 2 = 0 #

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 #

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) #

ถ้า #absz <1 #จากนั้น # absz ^ 3 <1 #, และ #abs (z ^ 3 + 1) <= abs (z ^ 3) + abs1 <1 + 1 = 2 #

ในที่สุดถ้า #absz <1 #จากนั้น

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) <1 * 2 <2 # ดังนั้นเราไม่สามารถมี

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 # ตามที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา

(อาจมีการพิสูจน์ที่สง่างามกว่า แต่ใช้งานได้)