สมการของเส้นตั้งฉากกับ y = -9 / 7x ที่ผ่าน (3,7) คืออะไร?

สวัสดีนี่คือคำตอบที่ค่อนข้างยาว แต่อย่ากลัว! มันเป็นตรรกะเพียงอย่างเดียวถ้าคุณสามารถทำเช่นนั้นคุณสามารถที่จะปกครองโลกสัญญา! วาดลงบนกระดาษและทุกอย่างก็โอเค (วาดโดยไม่มีแกนที่คุณไม่ต้องการมันเป็นรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น)) สิ่งที่คุณต้องรู้: ตรีโกณมิติพื้นฐาน, พีทาโกรัส, ดีเทอร์มิแนนต์, พิกัดเชิงขั้วและผลิตภัณฑ์สเกลาร์

ฉันจะอธิบายวิธีการทำงานเบื้องหลัง

ก่อนอื่นคุณต้องค้นหาสองจุดของบรรทัด

เอา #x = 2 # คุณมี #y = -18 / 7 #

เอา #x = 1 # คุณมี #y = -9 / 7 #

ตกลงคุณมีสองจุด #A = (2, -18 / 7) # และ รุ่น B (1, -9/7) # จุดเหล่านั้นอยู่บนบรรทัด

ทีนี้คุณอยากได้เวกเตอร์ที่เกิดจากจุดเหล่านั้น

#vec (AB) = (1-2, -9 / 7 + 18/7) = (-1,9 / 7) #

เรียกจุดนี้ #(3,7)# # P #

ตกลงตอนนี้ลองนึกถึงเส้นที่คุณต้องการซึ่งตั้งฉากกับเส้นหนึ่งของเราพวกมันตัดกันในจุดหนึ่ง, ลองเรียกจุดนี้ # H # เราไม่รู้ว่ามันคืออะไร # H # และเราต้องการทราบ

เรารู้สองสิ่ง:

#vec (AP) = vec (AH) + vec (HP) #

และ # vec (HP) _ | _ vec (AB) #

เพิ่มดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองด้าน

#det (vec (AP), vec (AB)) = det (vec (AH), vec (AB)) + det (vec (HP), vec (AB)) #

ตอนนี้ให้พิจารณาว่า #det (vec (a), vec (b)) = a * b * sin (theta) #

ที่ไหน # A # และ # B # เป็นบรรทัดฐานและ # theta # มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

อย่างชัดเจน #det (vec (AH), vec (AB)) = 0 # เพราะ #vec (AH) # และ #vec (AB) # อยู่ในบรรทัดเดียวกัน! ดังนั้น #theta = 0 # และ #sin (0) = 0 #

#det (vec (AP), vec (AB)) = det (vec (HP), vec (AB)) #

ทีนี้คุณอยากได้เส้นตั้งฉากกับอันนั้น

#det (vec (HP), vec (AB)) = HP * AB * sin (pi / 2) = HP * AB #

ในที่สุดก็ทำการคำนวณบางอย่าง

#det (vec (AP), vec (AB)) = HP * AB #

#det (vec (AP), vec (AB)) / (AB) = HP #

#vec (AP) = (3-2,7 + 18/7) = (1,67 / 7) #

#vec (AB) = (1-2, -9 / 7 + 18/7) = (-1,9 / 7) #

#det (vec (AP), vec (AB)) = 76/7 #

#AB = sqrt ((- 1) ^ 2 + (9/7) ^ 2) = sqrt (130) / 7 #

#HP = (76/7) / (sqrt (130) / 7) = 76 / sqrt (130) #

ตกลงตอนนี้เราใช้พีทาโกร์ที่จะมี # # AH

# (sqrt (4538) / 7) ^ 2 = (76 / sqrt (130)) ^ 2 + AH ^ 2 #

#AH = (277 sqrt (2/65)) / 7 #

ใช้ตรีโกณมิติเพื่อให้เกิดมุมขึ้น #vec (AB) # และแกนก็มีมุมที่เกิดขึ้น #vec (AH) # และแกน

คุณพบ #cos (theta) = -7 / sqrt (130) #

คุณพบ #sin (theta) = 9 / sqrt (130) #

#x = rcos (theta) #

#y = rsin (theta) #

ที่ไหน # R # เป็นบรรทัดฐานดังนั้น:

#x = -277 / 65 #

#y = 2493/455 #

#vec (AH) = (-277/65, 2493/455) #

#H = (-277/65 + 2, 2493/455 - 18/7) #

#H = (-147/65, 189/65) #

ตอนนี้คุณมีจุดนี้คุณสามารถพูดว่า "AAAAAAAAAAAAAH" เพราะคุณเสร็จเร็ว ๆ นี้

เพียงแค่ต้องจินตนาการอีกจุดหนึ่ง #M = (x, y) # ซึ่งสามารถอยู่ได้ทุกที่

#vec (HM) # และ #vec (AB) # จะตั้งฉากหากและเฉพาะในกรณีที่ #vec (HM) * vec (AB) = 0 #

เป็นเพียงเพราะ #vec (a) * vec (b) = a * b * cos (theta) # หากพวกเขาตั้งฉาก #theta = pi / 2 # และ #cos (theta) = 0 #

#vec (HM) = (x + 147/65), (y-189/65) #

#vec (HM) * vec (AB) = - (x + 147/65) +9/7 (y-189/65) #

# - (x + 147/65) +9/7 (Y-189/65) = 0 # เป็นสายของคุณ

จุดแดงคือ # H #

จุดดำคือ # P #

เส้นสีฟ้าคือ #vec (AB) #

คุณสามารถเห็นสองบรรทัด