ตัวเลขที่ซับซ้อนคืออะไร?

ตัวเลขที่ซับซ้อนคือตัวเลขของแบบฟอร์ม # A + สอง # ที่ไหน # A # และ # B # เป็นตัวเลขจริงและ #ผม# ถูกกำหนดให้เป็น # i = sqrt (-1) #.

(ด้านบนเป็นคำจำกัดความพื้นฐานของจำนวนเชิงซ้อนอ่านต่อไปเพื่อรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพวกเขา)

เหมือนกับที่เราใช้แทนจำนวนจริงเป็น # RR #เราแสดงชุดของจำนวนเชิงซ้อนเป็น # CC #. โปรดทราบว่าจำนวนจริงทั้งหมดเป็นตัวเลขที่ซับซ้อนเช่นเดียวกับจำนวนจริงใด ๆ # x # อาจเขียนเป็น # x + 0i #.

รับจำนวนเชิงซ้อน # Z = a + สอง #เราพูดอย่างนั้น # A # คือ ส่วนที่แท้จริง ของจำนวนเชิงซ้อน (แสดงแทน # "เรื่อง" (z) #) และ # B # คือ ส่วนจินตภาพ ของจำนวนเชิงซ้อน (แสดงแทน # "อิ่ม" (z) #).

การดำเนินการกับตัวเลขที่ซับซ้อนนั้นคล้ายคลึงกับการดำเนินการบนทวินาม รับจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน # z_1 = a_1 + b_1i # และ # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) ฉัน #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) ฉัน #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + + a_1b_2i a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + + a_1b_2i a_2b_1i-b_1b_2 # (จำ # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (+ a_1b_2 a_2b_1) I #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (A_2-b_2i)) / ((A_2 + b_2i) (A_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (A_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

สำหรับการแบ่งเราใช้ความจริงที่ว่า # (A + BI) (a-BI) = a ^ 2 + B ^ 2 #. รับจำนวนเชิงซ้อน # Z = a + สอง # เราเรียก # A-สอง # คอนจูเกตที่ซับซ้อน ของ # Z # และแสดงว่า #bar (z) # มันเป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์ (ดังที่เห็นด้านบน) ว่า #zbar (z) # เป็นจำนวนจริงเสมอ

ตัวเลขที่ซับซ้อนมีแอปพลิเคชั่นและคุณลักษณะที่มีประโยชน์มากมาย แต่สิ่งที่มักพบบ่อยในช่วงต้นคือการใช้งานในการแยกตัวประกอบพหุนาม ถ้าเรา จำกัด จำนวนตัวจริงเท่านั้นพหุนามเช่น # x ^ 2 + 1 # ไม่สามารถแยกตัวประกอบเพิ่มเติมได้อย่างไรก็ตามหากเราอนุญาตให้มีจำนวนเชิงซ้อนเราก็มี # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

อันที่จริงถ้าเราอนุญาตให้มีจำนวนเชิงซ้อนแล้ว ใด พหุนามตัวแปรเดียวของการศึกษาระดับปริญญา # n # อาจเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ของ # n # ปัจจัยเชิงเส้น (อาจมีบางอย่างเหมือนกัน) ผลลัพธ์นี้เรียกว่า ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต และตามชื่อบ่งชี้ว่ามีความสำคัญอย่างยิ่งต่อพีชคณิตและมีแอปพลิเคชันแบบกว้าง ๆ