Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

ตอบ:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

คำอธิบาย:

เราแสวงหา:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

เมื่อเราประเมินขีด จำกัด เรามองไปที่พฤติกรรมของฟังก์ชั่น "ใกล้" จุดไม่จำเป็นต้องเป็นพฤติกรรมของฟังก์ชั่น "ที่" จุดที่เป็นปัญหาดังนั้นจึงเป็น #x rarr 0 #เราไม่จำเป็นต้องพิจารณาสิ่งที่เกิดขึ้น # x = 0 #ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ที่น่ารำคาญ:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

เพื่อความชัดเจนกราฟของฟังก์ชันในการมองเห็นพฤติกรรมรอบตัว # x = 0 #

กราฟ {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

มันควรจะทำให้ชัดเจนว่าฟังก์ชั่น # การ y = sin (1 / x) / บาป (1 / x) # ไม่ได้กำหนดไว้ที่ # x = 0 #

ตอบ:

โปรดดูที่ด้านล่าง.

คำอธิบาย:

นิยามของขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่ฉันใช้นั้นเทียบเท่ากับ:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # ถ้าและเพียงของสำหรับทุกบวก # epsilon #มีค่าเป็นบวก # # เดลต้า เช่นนั้นสำหรับทุกคน # x #ถ้า # 0 <abs (x-a) <delta # แล้วก็ #abs (f (x) - L) <epsilon #

เพราะความหมายของ "#abs (f (x) - L) <epsilon #"สิ่งนี้ต้องการสำหรับทุกคน # x # กับ # 0 <abs (x-a) <delta #, # f (x) # ถูกกำหนดไว้

นั่นคือสำหรับที่จำเป็น # # เดลต้า, ทั้งหมดของ # (a-Delta, A + เดลต้า) # ยกเว้นเป็นไปได้ # A #, อยู่ในโดเมนของ # F #.

ทั้งหมดนี้ทำให้เราได้รับ:

#lim_ (xrarra) f (x) # มีอยู่ถ้า # F # ถูกกำหนดในบางช่วงเวลาที่มี # A #ยกเว้นที่ # A #.

(# F # ต้องกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกลบบางส่วนของ # A #)

ดังนั้น, #lim_ (xrarr0) บาป (1 / x) / บาป (1 / x) # ไม่ได้อยู่.

ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ

#f (x) = 1 # สำหรับ # x # ไม่มีเหตุผลจริง (ไม่ได้กำหนดสำหรับเหตุผล)

#lim_ (xrarr0) f (x) # ไม่ได้อยู่.