คุณใช้ซีรี่ส์ทวินามเพื่อขยาย sqrt (z ^ 2-1) ได้อย่างไร

ตอบ:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

คำอธิบาย:

ฉันอยากตรวจสอบอีกครั้งเพราะในฐานะนักเรียนฟิสิกส์ฉันไม่ค่อยได้รับอะไรเลย # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # สำหรับ x ตัวเล็กดังนั้นฉันจึงเป็นสนิมเล็กน้อย อนุกรมทวินามเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบททวินามซึ่งกล่าวว่า

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

กับ # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

สิ่งที่เรามีคือ # (Z ^ 2-1) ^ (1/2) #นี่ไม่ใช่แบบฟอร์มที่ถูกต้อง เพื่อแก้ไขสิ่งนี้จำได้ว่า # i ^ 2 = -1 # ดังนั้นเราจึงมี:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

ตอนนี้อยู่ในรูปแบบที่ถูกต้องด้วย #x = -z ^ 2 #

ดังนั้นการขยายตัวจะเป็น:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +.. #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #