เกี่ยวกับกำลังขยายของลอการิทึม FCF: log_ (cf) (x; a; b) = log_b (x + a / log_b (x + a / log_b (x + ... ))), b ใน (1, oo), x ใน (0, oo) และ a in (0, oo) คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า log_ (cf) ("trillion"; "trillion"; "trillion") = 1.204647904, เกือบ?

การเรียกร้อง # "trillion" = แลมบ์ดา # และทดแทนในสูตรหลัก

กับ #C = 1.02464790434503850 # เรามี

#C = log_ {lambda} (lambda + lambda / C) # ดังนั้น

# lambda ^ C = (1 + 1 / C) lambda # และ

# lambda ^ {C-1} = (1 + 1 / C) #

ตามด้วยการทำให้เข้าใจง่าย

#lambda = (1 + 1 / C) ^ {1 / (C-1} #

ในที่สุดการคำนวณมูลค่าของ # # แลมบ์ดา จะช่วยให้

# แลมบ์ดา = 1.0000000000000 * 10 ^ 12 #

เราสังเกตด้วยว่า

#lim_ {lambda-> oo} log_ {lambda} (lambda + lambda / C) = 1 # สำหรับ #C> 0 #

ตอบ:

นี่คือความต่อเนื่องของฉันต่อคำตอบที่ดีจาก Cesareo กราฟสำหรับ ln การเลือก b = e และ a = 1 อาจอธิบายลักษณะของ FCF นี้ได้

คำอธิบาย:

กราฟของ #y = log_ (cf) (x; 1; e) = ln (x + 1 / y) #:

ไม่ใช่ bijective สำหรับ x> 0

กราฟ {x-2.7183 ^ y + 1 / y = 0 -10 10 -10 10}

กราฟของ y = #log_ (cf) (- x; 1; e) = ln (-x + 1 / y) #:

ไม่ bijective สำหรับ x <0

กราฟ {-x-2.7183 ^ y + 1 / y = 0 -10 10 -10 10}

กราฟรวม:

กราฟ {(x-2.7183 ^ y + 1 / y) (- x-2.7183 ^ y + 1 / y) = 0 -10 10 -10 10}

ทั้งสองพบกันที่ (0, 0.567..) ดูกราฟด้านล่าง กราฟทั้งหมดคือ

ประกอบกับพลังของสิ่งอำนวยความสะดวกกราฟิก Socratic

กราฟ {x-2.7128 ^ (- y) + y = 0 -.05.05 0.55.59}

คำตอบสำหรับคำถามคือ 1.02 … และ Cesareo นั้นถูกต้อง

ดูการเปิดเผยกราฟิกด้านล่าง

กราฟ {x-y + 1 + 0.03619ln (1 + 1 / y) = 0 -. 1.1 1.01 1.04}