เรามี: {1,2,3} -> {1,2} และ g: {1,2,3} -> {1,2,3,4} มีฟังก์ชัน f และ g แบบฉีดจำนวนมากอย่างไร

ตอบ:

# F # ไม่สามารถฉีดได้

# G # สามารถฉีดได้ #24# วิธี

คำอธิบาย:

ฟังก์ชั่นจะถูกฉีดถ้าไม่มีสองอินพุตให้เอาต์พุตเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งเช่น

#f (x) = f (y), quad x ne y #

ไม่สามารถเกิดขึ้นได้

ซึ่งหมายความว่าในกรณีของโดเมนที่ จำกัด และโคโดเมนฟังก์ชันสามารถถูกฉีดได้ถ้าหากโดเมนนั้นมีขนาดเล็กกว่าโคโดเมน (หรืออย่างน้อยที่สุดเท่ากัน) ในแง่ของ cardinality

นี่คือเหตุผล # F # ไม่สามารถฉีดได้ ในความเป็นจริงคุณสามารถแก้ไขได้ # f (1) # ตามที่คุณต้องการ. พูด # f (1) = 1 #, ตัวอย่างเช่น. เมื่อเลือก # f (2) #เราพูดไม่ได้อีกแล้ว # f (2) = 1 #, หรือ # F # จะไม่ถูกฉีด แต่เมื่อพูดถึง # f (3) # เราไม่มีทางเลือกถ้าเราพูด # f (3) = 1 # เรามี # f (1) = f (3) #และถ้าเราพูด # f (3) = 2 # เรามี # f (2) = f (3) #.

กล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องพิจารณา ouput ที่เป็นไปได้หนึ่งในสองของแต่ละอินพุตทั้งสาม จะเห็นได้ชัดว่าอินพุตไม่สามารถให้เอาต์พุตที่แตกต่างกันได้

ในทางกลับกัน # G # สามารถฉีดได้เนื่องจากมี "พื้นที่เพียงพอ": อินพุตสามตัวแต่ละตัวสามารถเลือกหนึ่งในสี่เอาต์พุตในลักษณะที่ไม่มีอินพุตแตกต่างกันให้เอาต์พุตเดียวกัน

แต่มีกี่วิธี? สมมติว่าเราเริ่มต้นใหม่อีกครั้งด้วย # f (1) #. เราสามารถเลือกหนึ่งในสี่ ouputs สำหรับอินพุตนี้เพื่อให้เราสามารถเลือก # f (1) # ในสี่วิธี

เมื่อมันมาถึง # f (2) #เราสูญเสียอิสรภาพบางอย่าง: เราสามารถกำหนดค่าใด ๆ ให้กับ # f (2) #ยกเว้นที่เรามอบหมายให้ # f (1) #ดังนั้นเราจึงเหลือสองทางเลือก ตัวอย่างเช่นถ้าเราแก้ไข # f (1) = 2 #จากนั้น # f (2) # สามารถเป็นได้ทั้ง #1#, #3# หรือ #4#.

ด้วยเหตุผลเดียวกันเรามีสองทางเลือก # f (3) #: จากตัวเลือกที่เป็นไปได้สี่แบบเราตัดกฎที่ได้รับมอบหมาย # f (1) # และ # f (3) #.

ดังนั้นเราสามารถกำหนด # G # ใน #4*3*2 = 24# วิธีดังกล่าวว่า # G # เป็นแบบฉีด