ระยะห่างระหว่าง (0, 0, 8) และ (9, 2, 0) คืออะไร?

ตอบ:

ระยะทางคือ #sqrt (149) #

คำอธิบาย:

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

# (x_1, y_1, z_1) #

และ

# (x_2, y_2, z_2) #

ใน # RR ^ 3 # (สามมิติ) มอบให้โดย

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

การนำไปใช้กับปัญหาที่เกิดขึ้นเราได้ระยะห่างระหว่าง #(0, 0, 8)# และ #(9, 2, 0)# เช่น

# "distance" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายเกี่ยวกับที่มาของสูตรระยะทางและไม่จำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจโซลูชันข้างต้น

สูตรระยะทางที่ระบุด้านบนมีลักษณะคล้ายกับสูตรระยะทางอย่างน่าสงสัย # RR ^ 2 # (สองมิติ):

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

ซึ่งมาจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างง่ายโดยวาดสามเหลี่ยมมุมฉากระหว่างจุดสองจุดโดยมีขาขนานกับ # x # และ # Y # แกน

ปรากฎว่า # RR ^ 3 # เวอร์ชันสามารถรับได้ในลักษณะที่คล้ายกัน ถ้าเราใช้ (มากที่สุด) 3 บรรทัดเพื่อเชื่อมต่อสองจุดให้ขนานกับ # x #, # Y #และ # Z # แกนเราได้กล่องที่มีคะแนนเป็นมุมตรงข้าม ลองหาวิธีคำนวณระยะทางข้ามเส้นทแยงมุมของกล่อง

เราพยายามหาความยาวของเส้นสีแดง #COLOR (สีแดง) (AD) #

นี่คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม # ABD #จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

# (สี (แดง) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (สี (สีน้ำเงิน) (BC)) ^ 2 #

# => สี (แดง) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (สี (สีน้ำเงิน) (BC)) ^ 2) "(i)" #

น่าเสียดายที่เราไม่มีความยาว #COLOR (สีฟ้า) (BD) # ตามที่กำหนด เพื่อให้ได้เราจะต้องใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกครั้งคราวนี้กับสามเหลี่ยม # BCD #.

# (สี (สีน้ำเงิน) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

ในขณะที่เราต้องการสแควร์ของ #COLOR (สีฟ้า) (BD) #ตอนนี้เราสามารถทดแทน # ("ii") # เข้าไป #("ผม")#:

#color (red) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

ในที่สุดถ้าเรามี # A # ที่ # (x_1, y_1, z_1) # และ # D # ที่ # (x_2, y_2, z_2) #แล้วเราก็มีความยาว

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

การแทนที่สิ่งเหล่านี้ลงในด้านบนทำให้เราได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ

ในฐานะที่เป็นโน้ตเสริมในขณะที่เราสามารถพิสูจน์รูปทรงเรขาคณิตได้อย่างง่ายดายใน 3 มิตินักคณิตศาสตร์มีระยะทางทั่วไป # RR ^ n # (# n # มิติ) ระยะห่างระหว่าง

# (x_1, x_2, …, x_n) # และ # (y_1, y_2, …, y_n) # ถูกกำหนดให้เป็น

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

ซึ่งตรงกับรูปแบบจาก # RR ^ 2 # และ # RR ^ 3 #.