สมการของพาราโบลาที่มีโฟกัสอยู่ที่ (-15, -19) และ directrix ของ y = -8 คืออะไร?

ตอบ:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2-27 / 2 #

คำอธิบาย:

เนื่องจาก directrix เป็นเส้นแนวนอนเรารู้ว่าพาราโบลานั้นวางในแนวตั้ง (เปิดขึ้นหรือลง) เนื่องจากพิกัด y ของโฟกัส (-19) ด้านล่างของ directrix (-8) เรารู้ว่าพาราโบลาเปิดลง รูปแบบจุดยอดของสมการสำหรับพาราโบลาประเภทนี้คือ:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

โดยที่ h คือพิกัด x ของจุดยอด, k คือพิกัด y ของจุดสุดยอด, และระยะโฟกัส, f, คือครึ่งหนึ่งของระยะทางที่เซ็นชื่อจาก directrix ไปยังจุดโฟกัส:

#f = (y _ ("โฟกัส") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

พิกัด y ของจุดยอด, k, คือ f บวกพิกัด y ของ directrix:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

พิกัด x ของจุดสุดยอด, h, เท่ากับพิกัด x ของโฟกัส:

#h = -15 #

การแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสมการ 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

ลดความซับซ้อนของบิต:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2-27 / 2 #

ตอบ:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

คำอธิบาย:

Parabola เป็นตำแหน่งของจุดซึ่งเคลื่อนที่เพื่อให้ระยะห่างจากบรรทัดเรียกว่า directix และจุดที่เรียกว่าโฟกัสมีค่าเท่ากัน

เรารู้ว่าระยะห่างระหว่างสองจุด # (x_1, y_1) # และ # x_2, y_2) # ได้รับจาก #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # และ

ระยะห่างระหว่างจุด # (x_1, y_1) # และสาย # ขวาน + โดย + C = 0 # คือ # | ax_1 + by_1 + C | / (sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) #.

ตอนนี้ระยะทางของจุด # (x, y) # บนพาราโบลาจากการมุ่งเน้นที่ #(-15,-19)# คือ #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

และระยะห่างจาก directrix # การ y = -8 # หรือ # Y + 8 = 0 # คือ # | Y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | Y + 8 | #

ดังนั้นสมการของพาราโบลาก็คือ

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | Y + 8 | # หรือ

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # หรือ

# x ^ 2 + 30x + 225 + Y ^ 2 + 38y + 361 y = ^ 2 + 16y + 64 # หรือ

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

กราฟ {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}