คุณจะพิสูจน์วินาที (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (วินาที (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x)) ได้อย่างไร

ตอบ:

ทำการคูณสังยุคกันใช้ประโยชน์จากอัตลักษณ์ตรีโกณฯ และทำให้ง่ายขึ้น ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

จำอัตลักษณ์พีทาโกรัสได้ # บาป ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. หารทั้งสองข้างด้วย # cos ^ 2x #:

# (บาป ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> ตาล ^ 2x + 1 = วินาที ^ 2x #

เราจะใช้ประโยชน์จากตัวตนที่สำคัญนี้

ให้ความสำคัญกับการแสดงออกนี้:

# secx + 1 #

โปรดทราบว่านี่เทียบเท่า # (secx + 1) / 1 #. คูณด้านบนและล่างด้วย # secx-1 # (เทคนิคนี้เรียกว่าการคูณสังยุค):

# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (วินาที ^ 2x-1) / (secx-1) #

จาก # สีน้ำตาล ^ 2x + 1 = วินาที ^ 2x #เราเห็นว่า # สีน้ำตาล ^ 2x = วินาที ^ 2x-1 #. ดังนั้นเราสามารถแทนที่ตัวเศษด้วย # สีน้ำตาล ^ 2x #:

# (สีน้ำตาล ^ 2x) / (secx-1) #

ปัญหาของเราตอนนี้อ่าน:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

เรามีตัวส่วนร่วมกันดังนั้นเราสามารถเพิ่มเศษส่วนทางด้านซ้าย:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (สีน้ำตาล ^ 2x + 1 สีน้ำตาล ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

แทนเจนต์ยกเลิก:

# (ยกเลิก (สีน้ำตาล ^ 2x) + 1 ยกเลิก (สีน้ำตาล ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

ปล่อยให้เราด้วย:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

ตั้งแต่ # secx = 1 / cosx #เราสามารถเขียนสิ่งนี้ใหม่เป็น:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

การเพิ่มเศษส่วนในตัวหารเราเห็น:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

การใช้คุณสมบัติ # 1 / (A / B) = b / #, เรามี:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

และนั่นก็เป็นการพิสูจน์ที่สมบูรณ์

# LHS = (secx + 1) + (1 น้ำตาล ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1 สีน้ำตาล ^ 2x) / (secx-1) #

# = (วินาที ^ 2x-1 + 1 สีน้ำตาล ^ 2x) / (secx-1) #

# = cosx / cosx * ((วินาที ^ 2x-Tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#COLOR (สีแดง) ("วาง" วินาที ^ 2x-Tan ^ 2x = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#COLOR (สีแดง) ("วาง" cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #