คะแนน extrema และ saddle ของ f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) คืออะไร?

ตอบ:

# {: ("จุดวิกฤติ", "สรุป"), ((0,0,0), "อาน"):} #

คำอธิบาย:

ทฤษฎีเพื่อระบุ extrema ของ # Z = f (x, y) # คือ:

1. แก้สมการวิกฤตพร้อมกัน

   # (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 0 # (เช่น # f_x = f_y = 0 #)

2. ประเมินผล #f_ (x x), f_ (yy) และ f_ (xy) (= f_ (yx)) # ที่จุดวิกฤติแต่ละจุด ดังนั้นการประเมิน # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # ที่แต่ละจุดเหล่านี้
3. กำหนดลักษณะของ extrema;

   # {: (เดลต้า> 0, "มีขั้นต่ำถ้า" f_ (xx) <0), (, "และสูงสุดหาก" f_ (yy)> 0), (เดลต้า <0, "มีจุดอาน"), (Delta = 0, "จำเป็นต้องทำการวิเคราะห์เพิ่มเติม"):} #

ดังนั้นเราจึงมี:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

ให้เราหาอนุพันธ์ย่อยส่วนแรก:

# (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = พวกเจ้า ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

ดังนั้นสมการที่สำคัญของเราคือ:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

จากสมการเหล่านี้เรามี:

# y = 0 # หรือ # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # หรือ # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

และทางออกเดียวเท่านั้นคือ # x y = = 0 #

และเราก็มี หนึ่ง จุดวิกฤติที่จุดกำเนิด

ตอนนี้ให้เราดูอนุพันธ์ย่อยส่วนที่สองเพื่อให้เราสามารถกำหนดลักษณะของจุดวิกฤติ (ฉันจะพูดผลเหล่านี้):

# (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x บางส่วน y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน y บางส่วน x)) #

และเราต้องคำนวณ:

# Delta = (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x ^ 2) (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน y ^ 2) - ((บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x บางส่วน y)) ^ 2 #

ในแต่ละจุดวิกฤติ ค่าอนุพันธ์อันดับสองบางส่วน # # เดลต้าและข้อสรุปมีดังนี้:

# {: ("จุดวิกฤติ", (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x ^ 2), (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน ^ ^ 2), (บางส่วน ^ 2f) / (บางส่วน x บางส่วน y), Delta, "บทสรุป"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "incluclusive"):} #

ดังนั้นหลังจากการทำงานทั้งหมดมันค่อนข้างน่าผิดหวังที่จะได้รับผลรวม แต่ถ้าเราตรวจสอบพฤติกรรมรอบจุดวิกฤติเราก็สามารถพิสูจน์ได้ว่ามันเป็นจุดอานม้า

เราสามารถดูจุดวิกฤติเหล่านี้ได้หากเราดูพล็อต 3D: