ตอบ:
"(i) จริง"
"(ii) False"
คำอธิบาย:
"พิสูจน์"
"(i) เราสามารถสร้างชุดย่อยดังกล่าว:"
"1)" forall r in RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) in RR ^ 2
"เรขาคณิต," V_r "เป็นเส้นผ่านต้นกำเนิดของ" RR ^ 2, "ความชัน" r.
"2) เราจะตรวจสอบว่าสเปซย่อยเหล่านี้แสดงถึงการยืนยัน (i)"
"3) ชัดเจน:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2
"4) ตรวจสอบว่า:" qquad qquad V_r "เป็นพื้นที่ย่อยที่เหมาะสมของ" RR ^ 2
"ให้:" qquad u, v in V_r, alpha, beta in RR qquad qquad qquad quad "ตรวจสอบว่า:" quad alpha u + beta v in V_r
u, v in V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "สำหรับบางอย่าง" x_1, x_2 in RR
qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2)
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2)
# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2)
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + เบต้า x_2, alpha r x_1 + beta r x_2)
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + เบต้า x_2, r (alpha x_1 + beta x_2))
qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) in V_r; qquad "ด้วย" x_3 = alpha x_1 + เบต้า x_2
"ดังนั้น:" qquad qquad qquadu, v in V_r, alpha, beta in RR quad rArr quad alpha u + beta v in V_r
"ดังนั้น:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "เป็นพื้นที่ย่อยของ" RR ^ 2
"เพื่อดูว่า" V_r "ไม่ใช่ศูนย์โปรดทราบว่า:"
qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) ใน V_r, "และ" (1, r) ne (0, 0)
"เพื่อดูว่า" V_r "เหมาะสม" "โปรดทราบว่า" (1, r + 1)! ใน V_r:
(1, r + 1) ใน V_r rArr "(โดยการสร้าง" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1
qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "เป็นไปไม่ได้อย่างชัดเจน"
"ดังนั้น:" qquad qquad qquad V_r "เป็นพื้นที่ย่อยที่ไม่ใช่ศูนย์และเหมาะสมของ" RR ^ 2 qquad qquad qquad (1)
"5) ตอนนี้แสดงว่ามีซับสเปซดังกล่าวจำนวนมาก" V_r
"ให้:" qquad qquad r, s in RR qquad qquad qquad quad "เราจะแสดง:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s
"โดยคำจำกัดความ:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) in V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) in V_s
"ชัดเจน:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s)
"ดังนั้น:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s
"ดังนั้นแต่ละ" r in RR "จะสร้างพื้นที่ย่อยที่แตกต่าง" V_r
"สิ่งนี้พร้อมด้วย (1) จะให้:"
"ตระกูลของพื้นที่ย่อย:" r in RR, "เป็นตระกูลที่ไม่มีที่สิ้นสุด"
"ของ subspaces ที่ไม่เป็นศูนย์และเหมาะสม" RR ^ 2 qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad square
"(ii) นี่เป็นเรื่องง่ายจริง ๆ ถ้าระบบเป็นสี่เหลี่ยมและ"
"สัมประสิทธิ์เมทริกซ์ของระบบกลับด้านได้จะมีเพียง"
"การแก้ปัญหาศูนย์"
"สมมติว่า:" qquad qquad quad A "เป็นเมทริกซ์จตุรัสกลับด้านได้"
"พิจารณาระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน:"
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0
"ดังนั้นในขณะที่" A "กลับด้าน:"
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0
qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0
qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0
"ดังนั้นระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน" A x = 0, "ไม่มี"
# "โซลูชันที่ไม่เป็นศูนย์" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad
