คุณจะหาค่าที่แน่นอนของ cos58 โดยใช้ผลรวมและความแตกต่างมุมสองมุมหรือสูตรครึ่งมุมได้อย่างไร

ตอบ:

มันเป็นหนึ่งในรากเหง้าของ #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # ที่ไหน #T_n (x) # คือ # n #พหุนาม Chebyshev แรก นั่นเป็นหนึ่งในสี่สิบหกรากของ:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 15723016277368 788 7 7 7 7 7 8 9 10 7 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 รวมและ 7 รูปแบบที่แตกต่างกัน + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 1689 x60 x2628 ^ 16 + 40 1626 383 x 383 ^ 263 459 383 3892626263 ^^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

คำอธิบาย:

# 58 ^ circ # ไม่ได้เป็นหลายเท่าของ # 3 ^ circ #. ทวีคูณของ # 1 ^ circ # ที่ไม่ใช่ทวีคูณของ # 3 ^ circ # ไม่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยเส้นตรงและเข็มทิศและฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของพวกเขาไม่ใช่ผลลัพธ์ขององค์ประกอบบางอย่างของจำนวนเต็มโดยใช้การบวกการลบการคูณการหารและการรูทสแควร์

นั่นไม่ได้หมายความว่าเราไม่สามารถเขียนบางสำนวนได้ #cos 58 ^ circ #. ลองจดเครื่องหมายดีกรีเพื่อเป็นปัจจัย # {2pi} / 360 #.

# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #

#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #

# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #

#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #

ไม่เป็นประโยชน์

เราสามารถลองเขียนสมการพหุนามหนึ่งในรากที่มี #cos 58 ^ circ # แต่มันอาจจะใหญ่เกินไปที่จะใส่เข้าไป

# theta = 2 ^ circ # คือ #180#ที่ของวงกลม ตั้งแต่ #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # นั่นหมายความว่า #cos 2 ^ circ # ความพึงพอใจ

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #

ลองแก้ปัญหานี้กันก่อน # theta # เป็นครั้งแรก #cos x = cos a # มีราก # x = pm a + 360 ^ circ k, # จำนวนเต็ม # k #.

# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #

# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k หรือ theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #

นั่นคือรากจำนวนมากและเราเห็น # theta = 58 ^ circ # ในหมู่พวกเขา

พหุนาม #T_n (x) #เรียกว่าชื่อพหุนาม Chebyshev ของประเภทแรกพอใจ #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. พวกเขามีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เรารู้สองสามอย่างแรกจากสูตรมุมสองและสาม:

#cos (0 theta) = 1 quad quad # ดังนั้น# quad quad T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = cos theta quad quad # ดังนั้น# quad quad T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # ดังนั้น # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # ดังนั้น # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #

มีความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำที่ดีที่เราสามารถยืนยันได้:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

ในทางทฤษฎีเราสามารถสร้างสิ่งเหล่านี้ให้มีขนาดใหญ่ # n # ตามที่เราสนใจ

ถ้าเราปล่อยให้ # x = cos theta, # สมการของเรา

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

กลายเป็น

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

Wolfram Alpha ยินดีที่จะบอกเราว่าพวกเขาคืออะไร ฉันจะเขียนสมการเพียงเพื่อทดสอบการเรนเดอร์คณิตศาสตร์:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 15723016277368 788 7 7 7 7 7 8 9 10 7 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 รวมและ 7 รูปแบบที่แตกต่างกัน + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 1689 x60 x2628 ^ 16 + 40 1626 383 x 383 ^ 263 459 383 3892626263 ^^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

ใช่คำตอบนี้ใช้เวลานานขอบคุณ Socratic ยังไงก็ตามหนึ่งในรากของพหุนามระดับที่ 46 ที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มคือ # cos 58 ^ circ #.