ตอบ:
ตอบแล้วที่นี่
คำอธิบาย:
คุณต้องหาก่อน # sin18 ^ @ #ซึ่งมีรายละเอียดอยู่ที่นี่
จากนั้นคุณจะได้รับ # cos36 ^ @ # ดังแสดงไว้ที่นี่
ตอบ:
เราแก้ปัญหา #cos (2 theta) = cos (3 theta) # หรือ # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # สำหรับ # x = cos 144 ^ circ # และรับ #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
คำอธิบาย:
เราได้รับ #cos 36 ^ circ # ทางอ้อมอย่างอ่อนโยนจากสูตรมุมสองและสามสำหรับโคไซน์ มันเจ๋งมากวิธีทำและมีความประหลาดใจที่สิ้นสุด
เราจะมุ่งเน้น #cos 72 ^ circ #. มุมมอง # theta = 72 ^ circ # ความพึงพอใจ
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
เรามาแก้ปัญหาให้ # theta #จำได้ #cos x = cos a # มีโซลูชั่น #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # หรือ # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
ซึ่งรวมถึง # 360 ^ circ k # เพื่อให้เราสามารถวางส่วน "หรือ"
ฉันไม่ได้เขียนเรื่องลึกลับที่นี่ (แม้จะจบลงด้วยความประหลาดใจ) ดังนั้นฉันจะพูดถึงเรื่องนี้ #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # เป็นโซลูชันที่ถูกต้องและเราเห็นว่าเกี่ยวข้องกับคำถามอย่างไร
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
ตอนนี้ขอ # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
พวกเรารู้ # x = cos (0 คูณ 72 ^ circ) = 1 # เป็นทางออกดังนั้น # (x-1) # เป็นปัจจัย:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
กำลังสองมีราก
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
สิ่งที่เป็นบวกจะต้องเป็น #cos 72 ^ circ # และสิ่งที่เป็นลบ #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
นั่นคือคำตอบ ความประหลาดใจคือมันเป็นอัตราส่วนทองคำครึ่งหนึ่ง!
